Stelling van Vinogradov

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zegt de stelling van Vinogradov in, dat enig voldoende groot oneven geheel getal geschreven kan worden als een som van drie priemgetallen. Het is een zwakke vorm van het vermoeden van Goldbach, hetgeen het bestaan van een dergelijke representatie voor alle oneven getallen groter dan vijf zou impliceren. De stelling is genoemd naar Ivan Vinogradov, die deze stelling in de jaren dertig van de twintigste eeuw bewees. De volledige stelling van Vinogradov impliceert asymptotische grenzen voor het aantal rerpresentaties van een oneven getal als een som van drie priemgetallen.

Formele definitie[bewerken]

Laat A een positief reëel getal zijn. Dan geldt

r(N)={1\over 2}G(N)N^2+O\left(N^2\log^{-A}N\right),

waar

r(N)=\sum_{k_1+k_2+k_3=N}\Lambda(k_1)\Lambda(k_2)\Lambda(k_3),

gebruikmakend van de Von Mangoldt-functie \Lambda en

G(N)=\left(\prod_{p\mid N}\left(1-{1\over{\left(p-1\right)}^2}\right)\right)\left(\prod_{p\nmid N}\left(1+{1\over{\left(p-1\right)}^3}\right)\right).

Consequenties[bewerken]

Als N even is, dan is G(N) ongeveer gelijk aan 1, dus N^2 \ll r(N) voor een groot genoeg getal N. Door te laten zien dat de bijdrage aan r(N) door goede priemmachten gelijk is aan O\left(N^{3\over 2}\log^2N\right), ziet men dat

N^2\log^{-3}N\ll\left(\hbox{aantal manieren waarop N geschreven kan worden als een som van drie priemgetallen}\right).

Dit betekent in het bijzonder dat enig voldoende groot oneven geheel getal kan worden geschreven als een som van drie priemgetallen, daarmee aantonend dat het zwakke vermoeden van Goldbach, met uitzondering van een eindig aantal gevallen, waar is. In 2013 is dit zwakke vermoeden zonder uitzondering bewezen door de Peruaanse wiskundige Harald Helfgott.

Referenties[bewerken]

  • I.M. Vinogradov; Anne Davenport, K.F. Roth, The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers (Methoden van goniometrische sommen in de getaltheorie), Interscience, New York, 1954
  • Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: the Classical Bases (Additieve getaltheorie: de klassieke basis), Springer-Verlag, 1996 ISBN 0-387-94656-X. Hoofdstuk 8.

Externe link[bewerken]