Stelling van Vinogradov

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zegt de stelling van Vinogradov dat elk voldoende groot oneven geheel getal geschreven kan worden als een som van drie priemgetallen. De stelling is een zwakke vorm van het vermoeden van Goldbach dat het bestaan van een dergelijke representatie voor alle oneven getallen groter dan 5 uitspreekt. De stelling is genoemd naar Ivan Vinogradov, die deze stelling in de jaren 1930 bewees. De volledige stelling van Vinogradov impliceert asymptotische grenzen voor het aantal representaties van een oneven getal als een som van drie priemgetallen.

Stelling[bewerken]

Laat het aantal voorstellingen zijn van het natuurlijke getal als som van 3 priemgetallen. Dan is

waarin

(Merk op dat het linkerproduct over de priemdelers van loopt, en het rechterproduct over de overige priemgetallen).

Consequenties[bewerken]

Voor even is ongeveer gelijk aan 1, dus voor groot genoeg. Door te laten zien dat de bijdrage aan door goede priemmachten gelijk is aan , ziet men dat

Dit betekent in het bijzonder dat enig voldoende groot oneven geheel getal kan worden geschreven als een som van drie priemgetallen, daarmee aantonend dat het zwakke vermoeden van Goldbach, met uitzondering van een eindig aantal gevallen, waar is. In 2013 is dit zwakke vermoeden zonder uitzondering bewezen door de Peruaanse wiskundige Harald Helfgott.

Referenties[bewerken]

  • I.M. Vinogradov; Anne Davenport, K.F. Roth, The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers (Methoden van goniometrische sommen in de getaltheorie), Interscience, New York, 1954.
  • Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: the Classical Bases (Additieve getaltheorie: de klassieke basis), Springer-Verlag, 1996. ISBN 0-387-94656-X. Hoofdstuk 8.

Externe link[bewerken]