Stelling van Wolstenholme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zegt de stelling van Wolstenholme dat voor ieder priemgetal p ≥ 5 de onderstaande congruentie geldt:

.

Hierin stelt het symbool in het linkerlid zoals gebruikelijk een binomiaalcoëfficiënt voor.

Voor p=7 geeft de stelling bijvoorbeeld dat 1716 één groter is dan een veelvoud van 343.

Geschiedenis[bewerken]

In 1862 publiceerde Joseph Wolstenholme (1829 - 1891), docent aan de Universiteit van Cambridge, de naar hem genoemde stelling in zijn artikel.[1] In hetzelfde artikel gaf hij ook het bewijs voor de volgende congruenties

en

waarbij een congruentie als

,

met a,b en c gehele getallen en a en b relatief priem, moet worden opgevat als alternatieve schrijfwijze voor

.

Overigens bewees Charles Babbage reeds in 1819 een soortgelijke congruentie als de stelling van Wolstenholme, maar dan met de zwakkere modulus p2.

Logische omkering[bewerken]

De logische omkering van de stelling luidt: als de in de inleiding genoemde congruentie waar is voor een geheel getal p, dan is p een priemgetal. Men vermoedt dat de omkering waar is, dus dat het gelden van de congruentie een noodzakelijke en voldoende voorwaarde is voor priem-zijn. Ondanks uitgebreid onderzoek en enkele veelbelovende vorderingen blijft het volledige bewijs van dit vermoeden een moeilijk onopgelost probleem.

  1. (en) J. Wolstenholme (1862), "On the properties of certain prime numbers". Quarterly Journal of Mathematics (5: 35-39)