Stelling van Wolstenholme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Stelling van Wolstenholme is een stelling uit de getaltheorie die zegt dat voor ieder priemgetal p\geq 5 de volgende congruentie geldt:

(1)       \binom{2p-1}{p-1}\equiv 1\;(\mathrm{mod}\;p^3).

Hierin stelt het symbool in het linkerlid zoals gebruikelijk een binomiaalcoëfficiënt voor.

Geschiedenis[bewerken]

In 1862 publiceerde Joseph Wolstenholme (1829 - 1891), docent aan de Universiteit van Cambridge, de naar hem genoemde stelling in zijn artikel.[1] Voorts bewees hij in hetzelfde artikel de interessante equivalente congruenties

(2)       1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1} \equiv 0 \pmod{p^2}

en

(3)       1+{1 \over 2^2}+{1 \over 3^2}+...+{1 \over (p-1)^2} \equiv 0 \pmod p,

waarbij een congruentie als

a/b\equiv c \pmod{n}

(met a,b,c gehele getallen en a,b relatief priem) moet worden opgevat als alternatieve schrijfwijze voor

b\times c\equiv a\pmod{n}.

Overigens bewees reeds in 1819 Charles Babbage een soortgelijke congruentie als (1), maar dan met de zwakkere modulus p^2.

Bewijs[bewerken]

Een eenvoudig bewijs van de Stelling van Wolstenholme gebruikt de Stelling van Euler. (Later toevoegen.)

Logische omkering[bewerken]

De logische omkering van de stelling luidt: als de in de inleiding genoemde congruentie waar is voor een geheel getal p, dan is p een priemgetal. Men vermoedt dat de omkering waar is, dus dat het gelden van de congruentie een noodzakelijke en voldoende voorwaarde is voor priem-zijn. Ondanks uitgebreid onderzoek en enkele veelbelovende vorderingen blijft het volledige bewijs van dit vermoeden een moeilijk onopgelost probleem.

Voetnoten[bewerken]

  1. J. Wolstenholme (1862), "On the properties of certain prime numbers". Quarterly Journal of Mathematics (5: 35-39)