Stelling van de eindeloos typende apen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
In theorie kan deze chimpansee een meesterwerk schrijven, indien hij daar maar lang genoeg de tijd voor krijgt.

De stelling van de eindeloos typende apen is een theoretische stelling die inhoudt dat, indien men er maar lang genoeg de tijd voor neemt, een aap die in willekeurige volgorde letters intikt op een schrijfmachine, een kopie van een volledig werk van William Shakespeare kan produceren. De aap staat in deze stelling symbool voor elk soort dier of apparaat dat willekeurig een letter kiest. De statistische kans dat er vervolgens een werk van Shakespeare uitkomt, is uitermate klein, maar niet nul. In de diverse varianten van de stelling variëren het aantal apen en de lengte en complexiteit van de te schrijven tekst.

De theorie zelf is al terug te voeren tot Aristoteles' De Generatione et Corruptione en Cicero's De natura deorum. In de vroege 20e eeuw gebruikten Émile Borel en Arthur Eddington de stelling als voorbeeld voor de tijdschaal van statistische thermodynamica.

Bewijs[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie ook Kansrekening

Er is een simpel bewijs voor deze stelling. Indien twee gebeurtenissen onafhankelijk van elkaar zijn (dat wil zeggen, of de ene gebeurtenis al dan niet plaatsvindt heeft geen invloed op het al dan niet plaatsvinden van de andere gebeurtenis), kan de kans dat beide gebeurtenissen daadwerkelijk plaatsvinden worden berekend uit het product van de kansen dat een van beide plaatsvindt. Bijvoorbeeld: indien de kans dat het op een bepaalde dag gaat regenen in Amsterdam 0,3 is en de kans dat er een aardbeving plaatsvindt in San Francisco op diezelfde dag is 0,000 008, dan is de kans dat beide gebeurtenissen op dezelfde dag plaatsvinden 0,3 × 0,000 008 = 0,000 002 4.

Voor een schrijfmachine met 50 toetsen is de kans p dat bij het willekeurig intoetsen van de knoppen het woord 'banaan' geschreven wordt:

p=\tfrac {1}{50^6},

want elk van de 6 letters wordt onafhankelijk van de andere met kans 1/50 gekozen. Deze kans is kleiner dan 1 op 15 miljard. De kans dat de eerste zes letters juist niet het woord 'banaan' vormen is dan

q=1-p=1-\tfrac {1}{50^6}

Dat is weliswaar bijna gelijk aan 1, maar iets kleiner. Voor n blokken van 6 letters is de kans q_n dat in geen van deze blokken het woord 'banaan' voorkomt:

q_n=\left( 1-\tfrac{1}{50^6} \right)^n

Naarmate n toeneemt, wordt q_n kleiner. Voor een miljoen blokken (n=10^6) van 6 letters is q_n \approx 0{,}9999, dat wil zeggen, dat de kans dat niet het woord 'banaan' getypt wordt nog 99,99% is. Maar voor 10 miljard blokken (n=10^{10} is q_n \approx 0{,}53 . Met toenemend aantal blokken n wordt q_n steeds kleiner, zodat bij voldoend groot aantal het bijna zeker is dat een van deze blokken het woord 'banaan' oplevert.

Om bijvoorbeeld een kans van meer dan 90% te hebben dat het woord 'banaan' voorkomt, moet

q_n \le 0{,}10.

Dat houdt in dat:

n \cdot \log\left(1 - \tfrac{1}{50^6} \right) \le \log (0{,}10)=-1,

dus

n \ge \frac {1} { -\log (1 - \tfrac{1}{50^6} ) } \ge 35.977.876.618\approx 3{,}6\cdot 10^{10}

Ditzelfde argument toont aan dat indien men een oneindig aantal apen zou nemen, ten minste een van hen inderdaad met het werk van Shakespeare zou komen aanzetten.

Kansen[bewerken]

Zelfs indien men de tekst van bijvoorbeeld Hamlet terugbrengt tot enkel de letters door zaken als punten, komma’s, spaties en aanhalingstekens weg te laten, is er nog altijd een kans van 1 op 26 dat een aap alleen de eerste letter correct typt. De kans dat hij de eerste twee letters correct typt wordt al een op 676 (26 × 26). Per letter neemt de kans dat de correcte letter aangeslagen wordt exponentieel af. Na 20 letters is de kans al gekrompen tot 1 op de 2620 = 19.928.148.895.209.409.152.340.197.376 (bijna 2 × 1028). De kans dat de gehele tekst van Hamlet correct getypt wordt door enkel willekeurig een letter te kiezen is zo klein, dat deze niet in voor mensen bekende termen te omschrijven valt. De tekst van Hamlet bevat ongeveer 130.000 letters.[1] Dat geeft een kans van 1 op de 3,4 × 10183.946 dat een aap het hele werk correct schrijft.

Test met echte apen[bewerken]

In 2003 deden leraren en studenten van de Universiteit van Plymouth MediaLab Arts een test met echte apen. Ze zetten gedurende een maand een toetsenbord in de nabijheid van zes kuifmakaken in de Paignton Zoo. In totaal leverde dit slechts vijf pagina’s aan tekens op[2], met name de letter S. Volgens de opzichters in de dierentuin had het experiment weinig wetenschappelijke waarde, behalve dan dat het aantoonde dat de stelling van de eindeloos typende apen niet helemaal waterdicht is. Volgens de onderzoekers toonde het experiment echter wel aan dat apen niet altijd willekeurig knoppen indrukken. Zodra ze ontdekten dat hun actie iets teweegbracht op het computerscherm kregen ze belangstelling voor een of twee bepaalde knoppen.[3]

In media[bewerken]

De stelling van de eindeloos typende apen is een favoriet onderwerp in veel media en popcultuur, met name als demonstratie van kansberekening:

  • Er komt een referentie naar de stelling naar voren in het Transgalactisch Liftershandboek, waarin door toedoen van de oneindige-onwaarschijnlijkheidsaandrijving de personages geconfronteerd worden met een oneindig aantal apen die hun eigen script van Hamlet hebben geschreven.[4]
  • In de The Simpsons-aflevering Last Exit to Springfield probeert Montgomery Burns een nieuwe roman te ontwikkelen door 1000 apen op schrijfmachines willekeurig letters in te laten toetsen.
  • In zijn kortverhaal Been a Long, Long Time (1970) illustreert R.A. Lafferty de stelling op de hem eigen wijze. [5]
  • In The Ricky Gervais Show probeert Stephen Merchant de theorie aan Karl Pilkington uit te leggen, wat leidt tot een hevige discussie tussen Ricky Gervais en Karl Pilkington.[6]
  • Feitelijk hetzelfde principe komt naar voren in Het oneindige verhaal van Michael Ende, waar bij het "Toevalsspel" wordt geprobeerd om met dobbelstenen waarop aan alle zes de kanten letters staan woorden te vormen. Het aapje Argax stelt dat als je eeuwig hiermee doorgaat, alle mogelijke woorden en zinnen en alle verhalen die ooit kunnen worden verteld helemaal vanzelf ontstaan.

Externe links[bewerken]