Ster-driehoektransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De ster-driehoekstransformatie is een rekenmethode om van een lineair elektrisch netwerk in de vorm van een driehoek, een equivalent netwerk te bepalen in de vorm van een ster, of andersom. Deze transformatietheorie werd gepubliceerd door Arthur Edwin Kennelly in 1899.[1]

Basis ster-driehoektransformatie[bewerken]

Ster driehoektransformatie.png

Schema in woorden: De drie knooppunten a, b en c vormen een driehoekig of een stervormig netwerk.

  • De (complexe) impedanties tussen de hoekpunten van de driehoek zijn Zab, Zac en Zbc.
  • De ster bestaat uit de impedanties Za, Zb en Zc.

Omrekenformules voor driehoek naar ster[bewerken]

Z_a =  \frac{Z_{ab}Z_{ac}}{Z_{ab} + Z_{ac} + Z_{bc}}

De volgende formules worden meestal ook genoemd, maar zijn overbodig. Ze ontstaan uit de bovenstaande door verwisseling van de hoekpunten.

Z_b =  \frac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab} + Z_{ac} + Z_{bc}}


Z_c =  \frac{Z_{ac}Z_{bc}}{Z_{ab} + Z_{ac} + Z_{bc}}

Omrekenformules voor ster naar driehoek[bewerken]

Z_{ab} =  Z_a + Z_b + \frac{Z_aZ_b}{Z_c}

Ook hier geldt dat de onderstaande formules uit de bovenstaande volgen door verwisseling van de hoekpunten.


Z_{ac} =  Z_a + Z_c + \frac{Z_aZ_c}{Z_b}


Z_{bc} =  Z_b + Z_c + \frac{Z_bZ_c}{Z_a}

Een meer symmetrische vorm van de omrekenformule is:

Z_{ab} =  \frac{Z_aZ_b + Z_aZ_c + Z_bZ_c}{Z_c}

Analogie tussen de formules[bewerken]

Er is een interessante overeenkomst tussen de formules voor de impedanties Z en de admittanties Y = 1/Z.

Van driehoek naar ster voor de impedanties:

Z_c =  \frac{Z_{ac}Z_{bc}}{Z_{ab} + Z_{ac} + Z_{bc}}

Van ster naar driehoek voor de admittanties:

Y_{ab} =  \frac{Y_bY_a}{Y_c + Y_b + Y_a}

En omgekeerd:

Van ster naar driehoek voor de impedanties:

Z_{ab} =  \frac{Z_aZ_b + Z_aZ_c + Z_bZ_c}{Z_c}

Van driehoek naar ster voor de admittanties:

Y_c =  \frac{Y_{bc}Y_{ac} + Y_{bc}Y_{ab} + Y_{ac}Y_{ab}}{Y_{ab}}

Afleiding[bewerken]

De formules worden afgeleid uit de constatering dat de impedantie tussen twee hoekpunten, bijvoorbeeld a en b, voor de ster en de driehoek aan elkaar gelijk moeten zijn. Dus is:

Z_a+Z_b=\frac 1{\frac{1}{Z_{ab}}+\frac{1}{Z_{ac}+Z_{bc}}}=\frac{Z_{ab}(Z_{ac}+Z_{bc})}{Z_{ab}+Z_{ac}+Z_{bc}}= \frac{Z_{ab}Z_{ac}+Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{ac}+Z_{bc}}

Door verwisseling van de hoekpunten vindt men overeenkomstige resultaten voor de andere paren hoekpunten en daaruit volgen direct de gevraagde formules.


Bronnen, noten en/of referenties
  1. A. E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.