Sturm-liouvillevraagstuk

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Sturm-Liouvillevraagstuk)
Ga naar: navigatie, zoeken

Een sturm-liouvillevraagstuk is een naar Jacques Charles François Sturm en Joseph Liouville genaamd wiskundig vraagstuk, meer bepaald een differentiaalvergelijking over het eindig interval van de vorm:

met niet-triviale randvoorwaarden:

Hierbij zijn de afbeeldingen p, p', q en w continue en reëelwaardig, met p(x) > 0 en w(x) > 0.

De triviale oplosssing y(x) = 0 is altijd een oplossing. Echter voor sommige waarden van λ bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde eigenwaarden met bijhorende eigenfuncties .

De hoofdresultaten van de Sturm-Liouvilletheorie zijn:

  • De eigenwaarden zijn reëel en kunnen geordend worden om een strikt stijgende rij te vormen:
met limiet
  • De bij horende eigenfuntie is uniek op een constante niet-nulfactor na, en heeft exact n - 1 nulpunten in het interval .
  • De eigenfuncties vormen na normeren een orthogonale basis voor de gewichtsfunctie over

Sturm-Liouvillevraagstukken hebben praktisch nut, omdat ze veel voorkomen in de wiskundige natuurkunde, bijvoorbeeld in elektromagnetisme, kwantummechanica en akoestica.