Sturm-liouvilleprobleem

In de wiskundige analyse is een sturm-liouvilleprobleem een naar Charles Sturm en Joseph Liouville genoemde 2e-orde differentiaalvergelijking over het eindige interval $I=[a,b]$ van de vorm:

$-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)$

met de niet-triviale randvoorwaarden:

$\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0$

$\beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0$

Hierin zijn de functies $p,\ p',\ q$ en $w$ continu en reëelwaardig, met $p(x)>0$ en $w(x)>0$.

Het probleem kan geformuleerd worden met behulp van de lineaire differentiaaloperator

$L={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)$

en heeft dan de vorm van het eigenwaardeprobleem:

$Ly=\lambda \,y$

Er is altijd de triviale oplossing $y(x)=0$, maar voor sommige waarden van $\lambda$ bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde eigenwaarden $\lambda _{n}$ met bijhorende eigenfuncties $y_{n}(x)$.

De hoofdresultaten van de Sturm-Liouvilletheorie zijn:

• De eigenwaarden $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ zijn reëel en kunnen geordend worden om een strikt stijgende rij te vormen:

$\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots$

met limiet

$\lim _{n\to +\infty }\lambda _{n}=+\infty$

• De bij $\lambda _{n}$ horende eigenfunctie $y_{n}(x)$ is uniek op een constante niet-nulfactor na, en heeft exact $n-1$ nulpunten in het interval $(a,b)$.

• De eigenfuncties $y_{n}(x)$ vormen na normeren een orthogonale basis voor de gewichtsfunctie $w(x)$ over $[a,b]$

$\langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}$

Sturm-Liouvilleproblemen hebben praktisch nut, omdat ze veel voorkomen in de wiskundige natuurkunde, bijvoorbeeld in elektromagnetisme, kwantummechanica en akoestiek.