Supremum

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een verzameling van de reële getallen (hier weergegeven als rode en groene ballen), een deelverzameling van (weer-gegeven als groene ballen) en het supremum, het kleinste getal in dat groter is dan of gelijk is aan alle getallen in . Merk op dat voor eindige verzamelingen het supremum en het maximum aan elkaar gelijk zijn.

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is het supremum (meervoud suprema), afgekort tot sup, van een deelverzameling van een verzameling de kleinste (niet noodzakelijkerwijs in de deelverzameling) van alle bovengrenzen van die deelverzameling. Een bovengrens is een zodanig element dat geen element in de deelverzameling groter is dan die bovengrens. Elk element in de deelverzameling is kleiner dan een bovengrens of eventueel daaraan gelijk. Bijgevolg wordt het supremum ook de kleinste bovengrens (afgekort als kbg of KBG) genoemd. Suprema van verzamelingen van reële getallen zijn een veelvoorkomend speciaal geval, die vooral belangrijk zijn in de analyse. De algemene definitie blijft echter geldig in de meer abstracte context van de ordetheorie, waar willekeurige partieel geordende verzamelingen worden besctudeerd.

Gezien vanuit de ordetheorie heeft het supremum als duaal concept het infimum.

Definitie[bewerken]

Laat een partieel geordende verzameling zijn met orderelatie , en een deelverzameling van .

Een element is een bovengrens van als voor alle geldt: .

Een bovengrens van heet supremum van , genoteerd als , als voor elke bovengrens van geldt: .

Een supremum wordt wel 'kleinste bovengrens' genoemd. Deze aanduiding suggereert dat er slechts één supremum zou zijn. Men moet echter bedenken dat in een partiële orde een verzameling meerdere suprema kan hebben.

Supremum van een verzameling reële getallen[bewerken]

In de analyse wordt het supremum of de kleinste bovengrens van een deelverzameling van de reële getallen aangeduid door en gedefinieerd als de kleinste van alle bovengrenzen van . Een bovengrens is een getal waarvoor geldt dat elk getal in kleiner is dan de bovengrens of eraan gelijk is. Als er niet zo'n getal bestaat (omdat van boven niet begrensd is), definieert men . Voor de lege verzameling is het supremum gedefinieerd als .

Een belangrijke eigenschap van de reële getallen is dat elke verzameling van reële getallen een supremum heeft (elke niet-lege begrensde deelverzameling van de reële getallen heeft een supremum in de niet-uitgebreide reële getallen).

Voorbeelden zijn:

Externe link[bewerken]

Bronvermelding[bewerken]

  • (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.