Supremum

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een verzameling T van de reële getallen (hier weergegeven als rode en groene ballen), een deelverzameling S van T (weer-gegeven als groene ballen) en het supremum, het kleinste getal in T dat groter of gelijk is aan alle getallen in S. Merk op dat voor eindige verzamelingen het supremum en het maximum aan elkaar gelijk zijn.

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is het supremum (meervoud suprema) van een deelverzameling van enige verzameling het kleinste element (niet noodzakelijkerwijs in de deelverzameling) dat groter of gelijk is dan alle elementen in deze deelverzameling. Bijgevolg wordt de term kleinste bovengrens (ook wel afgekort als kbg of KBG) vaak gebruikt. Suprema van reële getallen zijn een veelvoorkomend speciaal geval, die vooral belangrijk zijn in de analyse. De algemene definitie blijft echter geldig in de meer abstracte setting van de ordetheorie, waar willekeurige gedeeltelijk geordende verzamelingen worden beschouwd.

Gezien vanuit de ordetheorie heeft het supremum als duaal concept het infimum.

Supremum van een verzameling reële getallen[bewerken]

In de analyse wordt het supremum of de kleinste bovengrens van een deelverzameling S van de reële getallen aangeduid door sup(S) en wordt dit supremum gedefinieerd als het kleinste reëel getal dat groter is dan of gelijk is aan elk getal in S. Als er niet zo'n getal bestaat (omdat S van boven niet begrensd is), dan definiëren wij sup(S) = - ∞. Als S een lege verzameling is, dan definiëren we sup(S) = ∞

Een belangrijke eigenschap van de reële getallen is dat elke verzameling van reële getallen een supremum heeft (elke niet-lege begrensde deelverzameling van de reële getallen heeft een supremum in de niet-uitgebreide reële getallen).

Voorbeelden zijn:

\sup \{ 1, 2, 3 \} = 3
\sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}  =  \sup \, \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x  \leq 1 \} = 1
\sup \{ (-1)^n - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^{*} \} = 1
\sup \{ a + b : a \in A \, \textrm{en} \, b \in B\} = \sup(A) + \sup(B)

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]

Bronvermelding[bewerken]

  • (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.