Supremum

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
A is een verzameling van reële getallen
 elementen van A
 bovengrenzen
De kleinste van de bovengrenzen, de rode ruit, is het supremum van A.

In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het supremum, meervoud suprema, afgekort tot sup, van een deelverzameling van een partieel geordende verzameling de kleinste van alle bovengrenzen van . Het is dus mogelijk, dat het supremum van zelf geen element van is, of dat zo'n kleinste element niet bestaat. Een bovengrens is een zodanig element dat geen element in de deelverzameling groter is dan die bovengrens. Elk element in de deelverzameling is kleiner dan een bovengrens of eventueel daaraan gelijk. Suprema van verzamelingen van reële getallen zijn een veelvoorkomend speciaal geval, die vooral belangrijk zijn in de analyse.

Het supremum heeft als duaal begrip het infimum.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Laat een partieel geordende verzameling zijn met orderelatie , en een deelverzameling van .

Een element is een bovengrens van als voor alle geldt: .

Een bovengrens van heet supremum van , genoteerd als , als voor elke bovengrens van geldt: . Het begrip supremum komt dus overeen met kleinste bovengrens (kleinste element van de verzameling bovengrenzen).

Een supremum bestaat niet in alle gevallen, maar als een supremum bestaat is het uniek. Als de deelverzameling geen enkele bovengrens heeft, bestaat er geen supremum, maar ook een niet-lege verzameling bovengrenzen hoeft geen kleinste element te hebben, zoals in het geval dat de verzameling rationale getallen is en de verzameling rationale getallen waarvan het kwadraat kleiner is dan 2.

Supremum van een verzameling reële getallen[bewerken | brontekst bewerken]

In de analyse wordt van het supremum of de kleinste bovengrens van een deelverzameling van de reële getallen, aangeduid door , niet gesteld dat het soms niet bestaat: als van boven niet begrensd is definieert men , en voor de lege verzameling is het supremum gedefinieerd als . Hiermee hebben de reële getallen de belangrijke eigenschap dat elke deelverzameling een supremum heeft. Elke niet-lege begrensde deelverzameling van de reële getallen heeft een supremum in de verzameling van reële getallen.

Voorbeelden zijn:

Als en niet leeg zijn geldt:

Het supremum van een verzameling wordt ook met het symbool aangegeven: .

Websites[bewerken | brontekst bewerken]

Bronvermelding[bewerken | brontekst bewerken]

  • (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.