Sylvestermatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de algebra is de Sylvestermatrix van twee polynomen in 1 variabele een matrix geconstrueerd met de coëfficiënten van deze polynomen. De matrix is genoemd naar James Joseph Sylvester.

Constructie[bewerken]

Stel men heeft twee polynomen in x, p(x) van graad m en q(x) van graad n, waarbij m en n ten minste 1 zijn:

.

De Sylvestermatrix is dan een vierkante matrix waarvan het aantal rijen en het aantal kolommen gelijk is aan de som van de graden van de polynomen. Het is dus een (m+n) x (m+n)-matrix. De eerste n rijen worden gevuld met de coëfficiënten van p, de volgende m rijen met de coëfficiënten van q.

  • De eerste rij bestaat uit de coëfficiënten van p, beginnend bij die van de hoogste macht van x, gevolgd door nullen.
  • De tweede rij is de eerste rij één plaats naar rechts opgeschoven, het eerste element is nul.
  • De volgende n-2 rijen worden op dezelfde manier opgebouwd, totdat p0 in de rechter kolom staat.
  • De (n+1) - e rij bestaat uit de coëfficiënten van q, gevolgd door nullen
  • De volgende rijen worden op dezelfde manier verkregen als hierboven.

De matrix ziet er dus zo uit, nullen worden niet weergegeven:


Merk op dat pm op de eerste n plaatsen van de diagonaal staat en dat de m volgende plaatsen op de diagonaal q0 zijn.

Eigenschappen[bewerken]

De resultante van twee polynomen is gedefinieerd als de determinant van de Sylvestermatrix van de twee polynomen. Deze determinant is nul, de Sylvestermatrix is singulier of nog anders gezegd heeft geen inverse matrix, dan en slechts dan als de twee polynomen een gemeenschappelijk nulpunt hebben.

Externe links[bewerken]