Symmetrische functie

Een symmetrische functie of symmetrische afbeelding is een functie dan wel afbeelding van meerdere variabelen waarvan de functiewaarde niet verandert bij onderlinge verwisseling van de argumenten.

Definitie

De afbeelding $f:V^{n}\to W$ gedefinieerd op het $n$-voudige cartesisch product van een verzameling $V$ heet symmetrisch, als voor alle $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ en permutaties $\sigma \in {\mathcal {S}}_{n}$ van de getallen $1,\ldots ,n$ geldt:

$f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (n)})=f(v_{1},\ldots ,v_{n})$

Van een symmetrische functie in $n$ variabelen is dus de functiewaarde van elke $n$-tupel gelijk aan die van elke permutatie van die $n$-tupel.

De reële functie

$f(x,y,z)={{x+y+z} \over {xyz}}$

is bijvoorbeeld symmetrisch. Het verwisselen van de variabelen verandert de uitkomst niet. Maar voor de functie

$f(x,y,z)=x+yz$

is dat niet zo, want

$x+yz$ en $y+xz$

zijn niet in alle omstandigheden gelijk.

Antisymmetrie

Een functie kan ook antisymmetrisch zijn. Verwisseling van twee variabelen geeft dan een tekenwisseling in de functiewaarde. Een eenvoudig voorbeeld is

$f(a,b)=a-b$

want

$f(b,a)=b-a=-(a-b)=-f(a,b)$

Bij antisymmetrische functies van meer dan twee variabelen volgt het teken van het resultaat de pariteit van de permutatie, dat wil zeggen of het aantal verwisselingen in de permutatie even of oneven is.

Operatie

Een functie van twee variabelen wordt soms in infixnotatie geschreven en een (binaire) operatie genoemd. Als de functie symmetrisch is wordt de operatie commutatief genoemd.

Een functie van meer dan twee variabelen kan gemaakt worden door het herhaald toepassen van een binaire operatie, bijvoorbeeld $f(a,b,c)=(a+b)+c$. Om op deze manier een symmetrische functie te krijgen moet de operatie behalve commutatief ook associatief zijn. Merk op dat associatieve operaties niet commutatief hoeven te zijn. Een voorbeeld is matrixvermenigvuldiging, waar het resultaat afhankelijk kan zijn van verwisseling van linker en rechter operand.

Zie ook

• Elementaire symmetrische polynoom