Symmetrische functies van een polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De symmetrische functies van een polynoom zijn de coëfficiënten van die polynoom, uitgedrukt in de nulpunten van . De coëfficiënt van de hoogste macht van x wordt 1 gekozen.

Zij

een polynoom van de graad in de variabele . is te schrijven als het product van de factoren van de vorm , waarin de de nulpunten zijn van . De nulpunten hoeven niet reëel te zijn.

De symmetrische functies behorend bij de polynoom zijn de coëfficiënten uitgedrukt in de nulpunten .

,
,

verder

tot en met

.


Vereenvoudigde schrijfwijze[bewerken]

De nulpunten worden tegengesteld van teken gekozen:  :

Dan wordt het:

,
,

verder

tot en met

.


Symmetrische functies met alleen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen[bewerken]

Iedere uitdrukking in n variabelen xi, waarin weer alleen de bewerkingen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen voorkomen, en die symmetrisch is in de n variabelen, of anders: iedere symmetrische functie in n variabelen met alleen deze drie bewerkingen is met uitsluitend dezelfde drie bewerkingen ook te schrijven in de n symmetrische functies van een polynoom.

In het volgende voorbeeld wordt voor de vereenvoudigde schrijfwijze gekozen.

.