Symmetrische functies van een polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

De symmetrische functies van een polynoom zijn de coëfficiënten van die polynoom, uitgedrukt in de nulpunten van . De coëfficiënt van de hoogste macht van x wordt 1 gekozen.

Zij

een polynoom van de graad in de variabele . is te schrijven als het product van de factoren van de vorm , waarin de de nulpunten zijn van . De nulpunten hoeven niet reëel te zijn.

De symmetrische functies behorend bij de polynoom zijn de coëfficiënten uitgedrukt in de nulpunten .

,
,

verder

tot en met

.


Vereenvoudigde schrijfwijze[bewerken]

De nulpunten worden tegengesteld van teken gekozen:  :

Dan wordt het:

,
,

verder

tot en met

.


Symmetrische functies met alleen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen[bewerken]

Iedere uitdrukking in n variabelen xi, waarin weer alleen de bewerkingen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen voorkomen, en die symmetrisch is in de n variabelen, of anders: iedere symmetrische functie in n variabelen met alleen deze drie bewerkingen is met uitsluitend dezelfde drie bewerkingen ook te schrijven in de n symmetrische functies van een polynoom.

In het volgende voorbeeld wordt voor de vereenvoudigde schrijfwijze gekozen.

.