Symmetrische groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Cayley-graaf van de symmetrische groep met voortbrengers 2314 (blauw) en 2341 (rood)

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is de symmetrische groep van een eindige verzameling met elementen de groep van alle permutaties van . De groepsoperatie is de samenstelling van afbeeldingen. In plaats van wordt de symmetrische groep van ook wel genoteerd als . Aangezien er permutaties zijn van verschillende elementen, is de orde (het aantel elementen) van de symmetrische groep gelijk aan .

Elke permutatiegroep van een verzameling met elementen is een ondergroep van .

Voorbeeld[bewerken]

De symmetrische groep van alle permutaties van een verzameling met 3 elementen (voor het gemak de verzameling {1,2,3}) bestaat uit de volgende 6 permutaties:

123, 132, 213, 231, 312 en 321

Daarin wordt bijvoorbeeld met 213 de permutatie bedoeld:

(1,2,3) → (2,1,3).

Het produkt van 213 en 312 verkrijgt men door de beide permutaties achter elkaar uit te voeren: 213 o 312 = 321.

Symmetrische groep versus symmetriegroep[bewerken]

Het begrip 'symmetrische groep' moet wel onderscheiden worden van het begrip 'symmetriegroep'. Zo is bijvoorbeeld , met 24 elementen, de symmetrische groep van de verzameling hoekpunten van een vierkant, en de dihedrale groep , met 8 elementen, de symmetriegroep van die verzameling. De overige 16 permutaties zijn geen isometrieën.

O is algebraïsch de symmetrische groep , waarbij de elementen 1-op-1 overeenkomen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus.[1]