TDR-vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Taxis-Diffusie-Reactievergelijkingen of TDR-vergelijkingen zijn partiële differentiaalvergelijkingen, die in wiskundige modellen van biologische en biochemische systemen worden gebruikt. In deze modellen worden de concentraties van een aantal substanties berekend als functie van de tijd en een of meer ruimtelijke dimensies, waarbij deze concentraties onderhevig zijn aan de drie genoemde processen taxis, diffusie en onderlinge reacties. Daarnaast kunnen nog andere processen, zoals brontermen of verliestermen, worden opgenomen. De numerieke technieken die nodig zijn om de gekoppelde partiële differentiaalvergelijking van zo'n systeem op te lossen overstijgen doorgaans behalve voor de eenvoudigste gevallen de capaciteit van een gewone computer.

Vorm van de TDR-vergelijking[bewerken | brontekst bewerken]

Voor elk van de te volgen concentraties wordt een partiële differentiaalvergelijking opgesteld met in het linkerlid de tijdsafgeleide en in het rechterlid de diverse processen waaraan onderhevig is.

Diffusie[bewerken | brontekst bewerken]

Een eerste proces waaraan de concentratie van een bepaalde substantie onderhevig is, of kan zijn, is diffusie. De concentratie is dus functie van de tijd, en van de plaats , die een, twee of drie dimensies kan bevatten.

Het standaardmodel voor diffusie is op de wetten van Fick gebaseerd, die stelt dat bij diffusie van een substantie de flux negatief evenredig is met de gradiënt van de eigen concentratie. De verandering in de tijd wordt dan gegeven door de negatieve afgeleide van deze flux. Bijgevolg levert diffusie een bijdrage tot de partiële differentiaalvergelijking voor , van de vorm:

waarin de diffusiecoëfficiënt is, en , ook wel genoteerd als , de Laplace-operator. De diffusiecoëfficiënt kan constant zijn, of worden verondersteld, of kan van andere parameters afhangen. Hij wordt in het SI-stelsel uitgedrukt in m2/s.

Taxis[bewerken | brontekst bewerken]

Taxis is een proces waarbij de substantie zich verspreidt onder invloed van de concentratiegradiënt van een andere substantie (chemotaxis), of meer algemeen een externe prikkel zoals temperatuur, gravitatie, of licht. De diverse vormen van taxis staan beschreven in het betreffende artikel over taxis. De flux van de substantie , onderhevig aan taxis door een concentratie , is evenredig met de concentratie van de stof zelf, en met de gradient van . De bijdrage tot de tijdsafgeleide is dus:

met de taxiscoëfficiënt die afhangt van en , maar die ook kan afhangen van tijd en plaats, of van nog andere parameters. In tegenstelling tot de diffusiecoëfficiënt die steeds positief is, kan ook negatief zijn. Op die manier kan men het onderscheid maken tussen aantrekkende of afstotende vormen van taxis. Indien onderhevig is aan meer tactische interacties met substanties zal de partiële differentiaalvergelijking ook meerdere taxistermen bevatten.

Reactie[bewerken | brontekst bewerken]

Deze termen beschrijven chemische reacties tussen de substantie en de andere substantie(s) . Daarnaast kan ook nog een bronterm en een sterfteterm worden toegevoegd.

Algemene vorm van de vergelijking[bewerken | brontekst bewerken]

De TDR-vergelijking voor een substantie is dan:

In deze vergelijking wordt voor de taxistermen en voor de reactietermen over alle substanties gesommeerd. Indien niet overhevig is aan een taxisproces, of niet reageert met bepaalde substantie , zal de bijhorende coëfficiënt gewoon nul zijn.

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Onderstaande vergelijkingen beschrijven een fictief model waarin de concentratie van een substantie wordt beschreven, die een wisselwerking vertoont met twee andere concentraties en . Ook de tijds- en ruimtelijke afhankelijkheden van de twee substanties en worden door partiële differentiaalvergelijkingen beschreven:

De vergelijking voor bevat een diffusiecomponent en twee taxiscomponenten, waarvan een aantrekkend is en de andere afstotend. Beide taxiscoëfficiënten worden hier als constant verondersteld. De variabele is verondersteld onderhevig te zijn aan diffusie en sterfte. De vergelijking van de variabele bevat een bronterm en een reactieterm met . De constante parameters kunnen eventueel variabel gemaakt worden, bijvoorbeeld van de concentraties en/of om bijkomende effecten zoals verzadiging te simuleren.

Theoretische basis en numerieke implementatie[bewerken | brontekst bewerken]

Belangrijk onderzoek betreffende de wiskundige eigenschappen van TDR-vergelijkingen werd verricht door A Gerisch voor de Maarten Luther-Universiteit,[1] die zowel de theoretische eigenschappen van deze vergelijkingen als de concrete implementatie behandelde. Het werk van W. Hunsdorfer en J.G. Verwer[2] richt zich ook specifiek op dit soort vergelijkingen. Een meer algemene behandeling van numerieke oplossingsmethoden voor partiële differentiaalvergelijkingen is te vinden in het werk van J.W. Thomas.[3]

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Taxis-Diffusiemodel van twee substanties
beginsituatie, situatie na 500 iteraties en na 1000 iteraties
Boven is telkens onderhevig aan taxis door , onder is telkens onderhevig aan diffusie.

Dit tweedimensionale model bevat twee concentraties en . Om het effect van taxis te illustreren wordt verondersteld dat alleen onderhevig is aan taxis volgens de gradient van , en dat alleen onderhevig is aan diffusie:

Het ruimtelijk gebied wordt opgedeeld in 50×50 cellen. Als beginvoorwaarden wordt verondersteld dat geconcentreerd is in een rechthoekig gebied, en in drie kleinere gebieden, en dat zich verspreidt vanuit een gebied gecentreerd rond de coördinaten (35,35). De bijhorende figuur toont de beginsituatie en de situaties na 500 en na 1000 iteraties. De wanden van het ruimtelijk gebied worden als ondoordringbaar beschouwd. Bovenaan staat telkens de concentratie van en onderaan die van , in hetzelfde tweedimensionale ruimtelijk gebied. Het middelpunt van de initiële verdeling van is steeds aangegeven op de figuren van .

In de figuren is te zien, hoe zich verspreidt door diffusie en hoe zich door taxis verplaatst in de richting van . De twee gekoppelde partiële differentiaalvergelijkingen werden opgelost door middel van de lijnmethode met discretisering in de twee ruimtelijke coördinaten, en met een vierde orde expliciete Runge-Kuttamethode voor de tijdscoördinaat. De twee gekoppelde partiële differentiaalvergelijkingen werden dus omgezet in 2500 gekoppelde gewone differentiaalvergelijkingen. Het computerprogramma werd in MATLAB geschreven.

Voetnoten[bewerken | brontekst bewerken]

  1. (en) A Gerish voor de Maarten Luther-Universiteit. Numerical Methods for the Simulation of Taxis–Diffusion–Reaction Systems, 23 augustus 2001. pdf-document
  2. (en) W Hunsdorfer en JG Verwer. Numerical Solution of Time-Dependent Advectin-Diffusion-Reaction Equations, 2007. ISBN 978-3-540-03440-7
  3. (en) JW Thomas. Numerical Partial Differential Equations, Finite Difference methods, 1995. ISBN 0-387-97999-9