Overleg:Wortel 2

Wat willen we hier mee:

Als men om dit vierkant een volgende tekent met zijde A + 1 cm, dan zal het diagonaal
met \sqrt{2}^{2}  expanderen De formulereing is dan \sqrt[2]{2}\!\approx 2.828427125 ,
want de zijde zijn nu 2 cm, dus √(a² + b²) en dat is gelijk aan C En C  is het
diagonaal van de ingeschreven driehoek met hoeken
 
AB 90°;BC 45°; CA 45°

In de eerste plaats is dat een onsamenhangend verhaal met kop nog staart, en in de tweede plaats is '${\sqrt[{2}]{2}}\!\approx 2.828427125$' gewoon fout. Thijs! 20 jun 2010 18:03 (CEST)

Kijk eens naar het Franse of Engelse artikel. Lijkt me een reden om er wat meer van te maken. Het bovenstaande moet opgeknapt en zonder fouten. Ik ben niet zo'n ster in dit onderwerp, maar zal mijnbest doen iets toe te voegen. Misschien kun je er zelf ook iets aan doen? --VanBuren 20 jun 2010 18:58 (CEST)

Bewijs

Iemand heeft het bewijs vervangen door een complexer bewijs. Ik heb dat teruggedraaid. Bob.v.R (overleg) 16 aug 2018 12:28 (CEST)

• Het is in ieder geval korter. Zeg niet dat we het bewijs niet kennen. Het bewijs van de oneindige afdaling moet ergens anders voor worden gebruikt. ChristiaanPR (overleg) 16 aug 2018 16:13 (CEST)
  • Ik begreep de voorgaande uitleg prima, deze nieuwe niet. Dat het bewijs nu 'korter' is is een onzinargument. Daar de eerdere versie prima voldeed is er geen reden die te vervangen. VanBuren (overleg) 16 aug 2018 16:18 (CEST)
    • Dat ligt dan aan jou, laat de lezer naar het volgende bewijs kijken. ChristiaanPR (overleg) 16 aug 2018 16:26 (CEST)

Als lezer kan ik zeggen dat ik het "nieuwe" bewijs ook niet direct begrijp. Niet invoeren; het bewijs dat er al lange tijd staat voldoet prima.Madyno (overleg) 16 aug 2018 16:34 (CEST)

Madyno, Ik geloof er niets van wat je zegt. ChristiaanPR (overleg) 16 aug 2018 16:43 (CEST)

Als lezer begrijp ik het nieuwe bewijs ook niet echt. Voor iemand die bekend is logaritmes is het nog wel duidelijk dat het bewijs iets doet wat lijkt op het aan beide zijden nemen van de logaritme, maar waarom je dat mag afkappen naar de hoogste macht, is mij niet duidelijk. Heeft het iets met modulair rekenen te maken? –bdijkstra (overleg) 16 aug 2018 17:43 (CEST)

efficiënter bewijs

Koen De Naeghel. Vijf bewijzen voor de irrationaliteit van √2, 27 februari 2011.

Het volgende bewijs is een bewijs uit het ongerijmde:

Stel dat ${\sqrt {2}}$ een rationaal getal is en wel:

${\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}$.

Dan volgt na $b$ uit de noemer halen en na links en rechts kwadrateren

$a^{2}=2b^{2}$.

Noem $r$ en $s$ de grootste machten van $2$, zodat $a$ door $2^{r}$ en $b$ door $2^{s}$ zijn te delen, dan is

$2r=2s+1$.

Dat is onmogelijk, dus is ${\sqrt {2}}$ een irrationaal getal.

Euclides heeft de stelling in Boek 10 van zijn Elementen ook bewezen, maar hij gaf daar een bewijs door oneindige afdaling dat langer is.

ChristiaanPR (overleg) 16 aug 2018 16:26 (CEST) vereenvoudigd ChristiaanPR (overleg) 17 aug 2019 21:20 (CEST)

Al ben ik niet de maatstaf voor alle ecyclopedielezers, bewijs eens dat deze uitleg door meer lezers begrepen wordt dan de andere versie die ik wel begrijp. En geef ook eens aan waarom jouw versie "efficiënter" is, want ik begrijp ook niet wat "efficient" hier voor betekenis heeft. VanBuren (overleg) 16 aug 2018 16:38 (CEST)

Het betekent dat ik dit bewijs niet meer vergeet en ik het andere op meetkunde gebaseerde bewijs na een uur weer ben vergeten. ChristiaanPR (overleg) 16 aug 2018 16:46 (CEST)

Dat is wel heel persoonlijk. –bdijkstra (overleg) 16 aug 2018 17:38 (CEST)

Uur is al voorbij en mijn bewijs weet ik in ieder geval nog. ChristiaanPR (overleg) 16 aug 2018 17:45 (CEST)

Wat verstaat ChristiaanPR onder 'op meetkunde gebaseerd'?? Bob.v.R (overleg) 17 aug 2018 00:39 (CEST)

@ChristiaanPR. In het document dat je gelinkt hebt, staan 5 bewijzen. Het feit dat het bewijs dat in het artikel stond "klassiek bewijs" wordt genoemd, geeft al aan dat het voor een encyclopedisch artikel het gewenste bewijs is. Het bewijs dat jij zo graag wilt opnemen staat overigens niet in het door jou gelinkte document. De laatste stap van jouw bewijs lijkt mij ook duidelijk veel te groot. Hoopje (overleg) 17 aug 2018 09:33 (CEST)

1. Het betekent alleen dat Euclides het nieuwe bewijs nog niet door had.

2. Het enige dat ik kan bedenken dat je bedoelt, is dat wanneer $r$ de grootste macht van $2$ is, zodat $a$ door $2^{r}$ is te delen, het dan nog niet vast staat dat $2r$ de grootste macht $u$ van $2$ is, zodat $a^{2}$ door $2^{u}$ is te delen. Dat hoeft in het bewijs niet te worden vermeld, omdat dat een eigen stelling is. ChristiaanPR (overleg) 17 aug 2019 21:20 (CEST)

Elke bewezen uitspraak is een stelling. Daarmee is het eenvoudigste bewijs volgens jouw redenering: "Stel ${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$. Dat is onmogelijk. Q.E.D.". Maar zo werkt het natuurlijk niet. Als mensen jouw bewijs niet snappen omdat de laatste stap te groot is, dan heeft dat bewijs een probleem, niet die mensen die het bewijs niet snappen.

Overigens zijn de machten van 2: 1, 2, 4, 8, 16, enz. Als je dus zegt dat $r$ een macht van twee is zodat $a$ door $2^{r}$ deelbaar is, dan is $a$ deelbaar door een getal van de vorm $2^{2^{u}}$. Is dat ook wat je bedoelt? En waar is die dubbele machtsverheffing voor nodig? Hoopje (overleg) 19 aug 2019 07:22 (CEST)

Goede vraag!! Hoe dan ook, het door ChristiaanPR gesuggereerde bewijs (dus na de noodzakelijke correctie) is niet terug te vinden in de bijlage waar hij mee komt. Bob.v.R (overleg) 19 aug 2019 07:52 (CEST)

Gezien de reacties kan ik de conclusie trekken dat niemand deze versie begrijpt en het is dus niet te controleren of deze wel het beweerde bewijs geeft. VanBuren (overleg) 17 aug 2018 15:17 (CEST)

Waar het om gaat is dat hier natuurlijk prominent het klassieke bewijs dient te worden vermeld, zoals Hoopje al aangaf. Verwijderen van het klassieke bewijs is geen optie. Terzijde: waarom ChristiaanPR meent dat het klassieke bewijs is gebaseerd op meetkunde, blijft overigens onduidelijk. Bob.v.R (overleg) 17 aug 2018 20:30 (CEST)

Waarom Euclides wel en Aristoteles niet, omdat Koen De Naeghel het niet geeft? ChristiaanPR (overleg) 17 aug 2019 21:20 (CEST)

Het is een eenvoudiger bewijs. ChristiaanPR (overleg) 26 sep 2018 06:49 (CEST)

Aristoteles heeft het bewijs, dat hierboven staat en dat eenvoudiger is dan nog in het artikel staat, gegeven. De oude Grieken waren beter in meetkunde dan in rekenen. Het is daarom aannemelijk dat de redenering, die tot de stelling heeft geleid, op meetkunde was gebaseerd. ChristiaanPR (overleg) 29 okt 2018 06:00 (CET)

Mijn verandering in het bewijs hierboven is niet van dien aard, dat de discussie daardoor anders was verlopen. Er is op geen enkele manier in de bovenstaande discussie aan gerefereerd, dat $a$ en $b$ al dan niet relatief priem zijn. Het bewijs van Aristoteles is gemakkelijker te onthouden dan dat van Euclides. ChristiaanPR (overleg) 17 aug 2019 21:20 (CEST)

Ik heb bovenstaande tien keer gelezen, maar ik moet eerlijkheidshalve bekennen dat ik niet begrijp wat je ermee bedoelt. Overigens ben jij de enige die beweert dat jouw bewijs van Aristoteles afkomstig is, dus daar ben je ons nog een bron voor verschuldigd. Hoopje (overleg) 19 aug 2019 07:22 (CEST)

Bewijs voor de irrationaliteit van √2

Het volgende bewijs is een bewijs uit het ongerijmde:

Veronderstel dat ${\sqrt {2}}$ een rationaal getal is en is te schrijven als het quotiént van twee positieve natuurlijke getallen $a$ en $b$:

${\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}$.

Dan volgt na $b$ uit de noemer halen en na links en rechts kwadrateren

$a^{2}=2b^{2}$.

Noem $r$ en $s$ de grootste machten van $2$, zodat $a$ door $2^{r}$ en $b$ door $2^{s}$ zijn te delen. Ontbind $a^{2}$ en $2b^{2}$ in priemfactoren en tel het aantal keer dat $2$ in het uitgeschreven product in priemfactoren voorkomt. Dan is

$2r=2s+1$.

Dat is in tegenspraak met de hoofdstelling van de rekenkunde, die zegt dat ieder gehele getal groter dan 1 op maar één manier in priemfactoren is te ontbinden. De veronderstelling dat ${\sqrt {2}}$ een rationaal getal is, was dus onjuist. Dat betekent dat ${\sqrt {2}}$ irrationaal is en de stelling is bewezen.

ChristiaanPR (overleg) 20 dec 2020 19:16 (CET)

vervolg discussie

• @Hoopje (en) Mathematics in Ancient Greece from the 6th to the 4th century BC from Pythagoras to Euclid, 2003. blz 3: because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate ChristiaanPR (overleg) 20 aug 2019 06:13 (CEST)

@ChristiaanPR: In dat fragment geeft Aristoteles geen bewijs. Hij filosofeert over bewijzen uit het ongerijmde in het algemeen, en lijkt naar een bewijs van irrationaliteit van 2 te verwijzen -- al geeft de auteur van dat artikel al aan dat daar onder historici discussie over is -- dat eindigt met de absurde bewering dat een even en oneven getal gelijk zijn. Dat vind ik dus een erg zwakke grond om te geloven dat Aristoteles jouw bewijs gaf, vooral ook omdat rekenregels met machten volgens de Engelse Wikipedia pas 100 jaar later door Archimedes werden geformuleerd. En ook in Euclides' bewijs is aan het einde een even getal oneven: aan het begin is a of b oneven, aan het einde zijn ze beide even.

Ik zie dat je je bewijs hierboven hebt aangepast. Om priemfactoren te nemen heb je die rare "grootste macht van 2 waardoor a deelbaar is"-stap die niemand begrijpt helemaal niet nodig. Je kan ook direct de priemfactoren van a en b nemen, dan heeft 2b² zowel een even als een oneven aantal priemfactoren. Een stap minder en dus eenvoudiger dan jouw bewijs, in jouw eigen redenatie, toch? (Maar dat bewijs nu in plaats van het "klassieke bewijs" zetten zou ik nog steeds op zijn best een geval van BTNI vinden.)

Hoopje (overleg) 20 aug 2019 07:49 (CEST)

PS. Waarom ben je er zo zeker van dat "de grootste machten van $2$, zodat $a$ door $2^{r}$ en $b$ door $2^{s}$ zijn te delen" überhaupt bestaan? Laten we als voorbeeld 9 nemen. Wat is de grootste macht van $2$, zodat $9$ door $2^{r}$ te delen is? Hint: 0 is geen macht van 2, en door $2^{1}$ is 9 niet deelbaar. Hoopje (overleg) 20 aug 2019 08:29 (CEST)

Dit kan heel erg lang duren omdat bij ChristiaanPR 'het kwartje niet valt', en ik zie dat ook niet snel gebeuren. Hij formuleert de zin "Noem $r$ en $s$ de grootste machten van $2$, zodat $a$ door $2^{r}$ en $b$ door $2^{s}$ zijn te delen." maar wat hij bedoelt is "Noem $r$ en $s$ de grootste gehele getallen, waarbij $a$ door $2^{r}$ en $b$ door $2^{s}$ deelbaar is." Vervolgens lijkt hij gebruik te maken van de hoofdstelling van de rekenkunde, terwijl het zuiverder is om van zo weinig mogelijk andere stellingen gebruik te maken. Bob.v.R (overleg) 20 aug 2019 12:56 (CEST)

Het bewijs van Euclides is een bewijs door oneindige afdaling. Het bewijs van Aristoteles is een duidelijker voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde. ChristiaanPR (overleg) 15 dec 2019 00:05 (CET)

@ChristiaanPR: Deze discussie lijkt veel op oneinige afdaling. Waar wil je heen? Madyno (overleg) 15 dec 2019 10:08 (CET)

Er een tegenspraak van maken. ChristiaanPR (overleg) 15 dec 2019 19:09 (CET)

Bedoel je dat je jezelf gaat tegenspreken? Madyno (overleg) 15 dec 2019 21:48 (CET)

hoezo? ChristiaanPR (overleg) 17 dec 2019 23:57 (CET)

Waarvan wil je dan een tegensprasak maken? Madyno (overleg) 18 dec 2019 13:15 (CET)

Het wordt tijd dat ChristiaanPR ophoudt met z'n oneindige afdaling. Madyno (overleg) 2 feb 2020 18:24 (CET) Ik vind de toevoeging van hey Bewijs met behulp van de hoofdstelling van de rekenkunde onnodig onduidelijk en volslagen overbodig. Madyno (overleg) 28 jan 2021 14:17 (CET)

Het bewijs met de hoofdstelling van de rekenkunde telt de machten van twee waar een getal door kan worden gedeeld, bij het bewijs uit het ongeroijmde gebeurt dat impliciet. @Hoopje, waarom is 0 geen macht van 2? ChristiaanPR (overleg) 9 mei 2023 23:59 (CEST)

Tot welke macht moet je 2 verheffen om 0 te krijgen? Hoopje (overleg) 10 mei 2023 11:30 (CEST)

$a$ en $b$ kunnen geen nul zijn. ChristiaanPR (overleg) 10 mei 2023 13:10 (CEST)

Het ging ook niet over $a$ en $b$, maar over (en ik citeer jou) "noem $r$ en $s$ de grootste machten van twee zodat $a$ door $2^{r}$ en $b$ door $2^{s}$ te delen zijn". Neem $a=9$. Welke $r$ is de grootste macht van 2, zodat $9$ door $2^{r}$ deelbaar is? Hoopje (overleg) 10 mei 2023 13:17 (CEST)

hallo Hoopje, Dat is 0, een even getal. groeten ChristiaanPR (overleg) 10 mei 2023 14:37 (CEST)

Maar 0 is dus geen macht van 2. Wel een veelvoud van 2 (en dus even), als je dat misschien bedoelde. Hoopje (overleg) 10 mei 2023 16:08 (CEST)

Het aantal keer dat 2 in de ontbinding van $a^{2}$ en van $b^{2}$ voorkomt is even. Dus is $a^{2}\neq 2b^{2}$, maar dat was de veronderstelling: ${\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2$ ChristiaanPR (overleg) 10 mei 2023 16:19 (CEST)

Ik merk op dat je die r en s plotseling niet meer noemt. In mijn eerste bijdrage onder dit kopje schreef ik bijna vier jaar geleden al: 'Om priemfactoren te nemen heb je die rare "grootste macht van 2 waardoor a deelbaar is"-stap die niemand begrijpt helemaal niet nodig.' Blijkbaar ben je nu zelf ook tot die conclusie gekomen! Hoopje (overleg) 10 mei 2023 19:04 (CEST)

Allemachtig... ik zie dus nu pas dat jouw onzin twee jaar op de pagina heeft gestaan. Deze edit is er destijds door geglipt. Nou ja, in ieder geval heb je het nu verbeterd. Hoewel ik nog steeds de zin van twee bewijzen niet inzie, laat ik het (voorlopig, in ieder geval) maar zo. Hoopje (overleg) 11 mei 2023 08:10 (CEST)