Telescoopsom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een telescoopsom een partiële som van een rij getallen waarvan de termen zo in twee delen zijn gesplitst dat van opeenvolgende termen een van de delen wegvalt tegen een deel van de vorige term en dat daarbij het resterende deel weer wegvalt tegen een deel van de daarop volgende term. De hele som schuift als het ware als een telescoop in elkaar, waarna alleen een deel van de eerste en een deel van de laatste term overblijven.[1][2] De opsplitsing houdt in dat de termen bestaan uit de successieve verschillen van twee opeenvolgende termen van een andere rij getallen.

De techniek die gebruikt wordt om een deel van een term te laten wegvallen tegen een deel van de daaropvolgende term, wordt wel methode van verschillen of telescoopprocedure genoemd.[3]

Voorbeeld

Gegeven is de getallenrij , met als algemene term:

Deze term kan gesplitst worden in:

De rij van de partiële sommen van is dan:

Het komt er dus telkens op neer dat, bij juiste splitsing van de termen, alleen het eerste deel van de eerste term en het laatste deel van de laatste term van zo’n partiële som overblijven.[4]

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Is een getallenrij, dan heet met

een telescoopsom.

De sommen zijn de partiële sommen van de reeks met

Uitwerking geeft:

Ook is eenvoudig in te zien dat:


Convergentie

Uit dit laatste blijkt dat de rij dan en slechts dan convergent is, als de rij convergent is. Of ook:

Toepassing[bewerken | brontekst bewerken]

De eigenlijke toepassing van de telescoopsom is het vinden van de juiste opsplitsing, waarmee de partiële sommen tot telescoopsommen worden.

Andere voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Meetkundige rij

Voor de meetkundige rij geldt voor gehele waarden van :

Ook hierbij is dus sprake van een telescoopsom.

Een som van faculteiten

Er geldt bij het gebruik van de faculteitsfunctie:

Immers, met vervanging van de factor door is:

Een som van sinussen

Volgens een goniometrische identiteit, namelijk een van de formules van Simson, is:

Daarvan gebruik makend en uitgaande van de identiteit:

blijkt met dat:

Dus is, bijvoorbeeld:

(On)eindig product[bewerken | brontekst bewerken]

Dezelfde techniek als hierboven kan worden toegepast op (on)eindige producten waarvan de algemene factor van de vorm is. De telescoopprocedure geeft in dit geval:

Voorbeeld

Met en substitutie van volgt uit bovenstaande uitdrukking van :

Gevolg: Met en is dan:

De formule, die hieruit volgt:

is de formule van Morrie.[5]

Opmerking. Geen van de waarden in het linkerlid van deze identiteit is rationaal; het rechterlid is dat echter wel.

Voorbeeld

Hierna staat als toepassing een oneindig product.

Externe links[bewerken | brontekst bewerken]