Tetratie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Zie artikel Niet te verwarren met Titratie

Tetratie is de operatie van het herhaald machtsverheffen, waarbij het resultaat van een machtsverheffing steeds wordt gebruikt als exponent bij de volgende, terwijl het grondtal steeds gelijk blijft. Tetratie is een rekenkundige bewerking van de vierde orde en kan in termen van machtsverheffen als volgt worden gedefinieerd:

Het is hier geschreven als maal machtsverheffen met grondtal , beginnend bij , maar gelijkwaardig is het maal machtsverheffen met grondtal , beginnend bij (vergelijk machtsverheffen, dat herhaald vermenigvuldigen is met factor , beginnend bij of 1, en vermenigvuldigen, dat herhaald optellen is met term , beginnend bij of 0).

De notatie is een relatief eenvoudige versie van de Knuths pijlomhoognotatie (met "slechts" twee pijlen), terwijl de notatie onder de noemer Ruckers notatie te boek staat. Bij de ruckernotatie dient er zorg voor gedragen te worden dat er geen verwarring ontstaat bij uitdrukkingen van de vorm . In de meeste gevallen geldt namelijk dat .

Deze notatie wordt in andere talen ook wel de toren van machten of machtentoren genoemd.

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Na de som, product en machtsverheffen is de tetratie de vierde bewerking die deze reeks voorzet. Met tetratie wordt een opvolging van machten benoemd, bijvoorbeeld:

Tetreren levert al snel enorm grote getallen op. Zo heeft 35 reeds 2185 cijfers en 38 bevat er meer dan 15 miljoen.

Een bijzondere tetratie[bewerken | brontekst bewerken]

Een bijzondere functie vormt de volgende limiet van tetraties:

Hierin is de verzameling van reële limietpunten van . Tot slot definiëren we de Lambert-W functie impliciet als de inverse functie van , zodat .

Een andere uitdrukking voor f[bewerken | brontekst bewerken]

We willen de limiet in f nu expliciet evalueren. Hiertoe merken we op dat

Hieruit volgt dat

Het domein en beeld van f[bewerken | brontekst bewerken]

We merken allereerst op dat voor het niet zo hoeft te zijn dat . Uit uit de vorige sectie volgt dat het domein van f wordt beperkt door het beeld van onder . Zij nu

een functie. We weten nu uit de vorige sectie dat g de inverse van f is. Om de karakteristieken van f te vinden is het dus voldoende om g te onderzoeken. We bepalen eerst het maximum van het beeld van g om A vast te leggen.

We merken op dat niet gedefinieerd is, maar dat een minimum is op de rand van het domein van g. Verder merken we op dat en dus dat op grond van de productregel. De enige voorwaarden waarvoor geldt dat is dat of , maar deze punten zitten niet in het domein van g en gelden dus niet als extreme waarden.

Dit moet betekenen dat als g een extreme waarde heeft in x, dat dan . g heeft een maximum bij e. Hieruit volgt dat en dus zal het domein van f worden gegeven door .

Om de waarde van f in te bepalen merken we op dat f en g elkaars inverse zijn op het domein van f. En dus zal .

De afgeleide van f[bewerken | brontekst bewerken]

Om de afgeleide van f te bepalen gebruiken we de uitdrukking uit de tweede sectie.

Het uitwerken van deze laatste uitdrukking geeft dat

De primitieve van f[bewerken | brontekst bewerken]

We zullen in deze sectie proberen om de primitieve van f te bepalen. Hiertoe kijken we eerst goed naar de volgende plot van f en g.

Oneindige machtentoren en inverse.png

We zien nu dat de oppervlakte onder f op impliciet berekend kan worden met . In het algemeen geldt dat

Hiermee verplaatsen we het probleem van integratie naar de functie g. Het blijkt dat ook g niet expliciet te integreren is, al kunnen we wél partiële integratie toepassen op de volgende convergente Taylorreeks.

In dit stadium van de berekening dienen we al op te merken dat . Dit zal ons straks problemen op gaan leveren bij de bepaling van . Voor nu zullen we verdergaan met het bepalen van de volgende integraal

Hieruit volgt nu dat

Ofschoon de waarde van niet in radicalen valt uit te schrijven is er met behulp van bovenstaande formules wél een benadering mogelijk. We zien nu dat:

De visualisatie van f[bewerken | brontekst bewerken]

Hieronder volgt een grafische visualisatie van f, en . Oneindige machtentoren en afgeleide en primitieve.png

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

Externe links[bewerken | brontekst bewerken]