Pythagoras

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Dit is een oude versie van deze pagina, bewerkt door Pieter Suurmond (overleg | bijdragen) op 6 jan 2003 om 00:08. (Noot/overleg: de dissonante kwart)
Deze versie kan sterk verschillen van de huidige versie van deze pagina.


Pythagoras was een Griekse wijsgeer, hervormer en wiskundige. Hij leefde van 575 v. Chr. - 500 v. Chr.. Hij werd geboren op Samos, een van de -toen welvarende- eilanden in de Aegeïsche zee. Volgens de overlevering heeft hij veel reizen gemaakt naar Egypte en het Oosten.

Hij streefde harmonie en reinheid van de ziel na, wat volgens hem bevorderd kon worden door onder andere de kennis van getalsverhoudingen. Deze verhoudingen beheersen volgens zijn leer het heelal, zoals ze bijvoorbeeld ook terug te vinden zijn in de muziek.

Omstreeks 530 v. Chr. stichtte Pythagoras in Croton een school, die ook in andere Zuid-Italische steden afdelingen vestigde. Pythagoras en zijn aanhangers hebben een belangrijke invloed uitgeoefend op het openbare en het politieke leven, maar zijn daarbij ook op krachtig verzet gestuit; tegen het eind van zijn leven moest Pythagoras Croton verlaten en enkele decennia later vond een algehele opstand tegen zijn aanhangers plaats.

Filosofie en religie

Aristoteles vatte de leer van Pythagoras en zijn opvolgers aldus samen:

  • de dingen zijn getallen
  • de gehele hemel is harmonie en getal

Pythagoras was overtuigd van de onsterfelijkheid van de ziel en leerde de reïncarnatie.

Pythagoras' religieuze voorstellingen waren waarschijnlijk van Oosterse, met name Indische oorsprong. Hij geloofde in zielsverhuizing. "Volgens deze maakt de onsterfelijke ziel van de mens een lang louteringsproces door in steeds hernieuwde belichamingen, waarbij zij ook de dierlijke gestalte aan kan nemen. In verband daarmee staat, evenals in India, het gebod geen dier te doden of te offeren, en zich van dierlijk voedsel te onthouden. Daar als doel van het leven wordt aangezien de ziel door reinheid en vroomheid van de kringloop der wedergeboorten te verlossen, vertoont ook de Pythagoreïsche ethiek met India verwante trekken: zelftucht, ingetogenheid, onthouding staan in het middelpunt." (Störig, 1964)

Pythagoras combineerde voor het eerst wiskunde met theologie. Deze combinatie zullen we later tegenkomen bij Plato, maar ook bij de middeleeuwse theologen, en later tot zelfs bij Kant. Pythagoras heeft steeds een grote invloed op het denken uitgeoefend.

Getallenleer

Befaamd is de getallenleer van de oude Pythagoreeërs: zij namen aan dat de dingen getallen zijn of erop lijken, of ook wel dat de elementen van de dingen ook die van het getal zijn.

Het idee dat "mooie" getalsverhoudingen iets harmonisch opleveren kon Pythagoras aantonen met een aangestreken snaar. Wanneer je een snaar aanstrijkt en daarna de snaar halveert hoor je twee tonen die heel goed samen klinken. Wij zeggen nu dat deze tonen een octaaf verschillen. De lengteverhouding 2:3 geeft een kwint, 3:4 geeft een kwart. Ook dan zijn de tonen 'consonant'.
(noot: in sommige muzikale contexten kan een reine kwart toch wel als muzikaal dissonant worden ervaren/opgevat. Misschien is het --om verwarring te voorkomen-- beter om het octaaf en misschien wel de 'onvolledig consonante' terts of sext als voorbeelden van consonantie te noemen?)

Voor de Pythagoreeërs corresponderen getallen niet alleen met muzikale fenomenen, maar ook met begrippen en dergelijke: 4 is gerechtigheid (2 × 2, gelijk maal gelijk), 5 is huwelijk (eerste verbinding van even = vrouwelijk met oneven = mannelijk).

Het volmaakte getal is 10 (1 + 2 + 3 + 4), tetraktus genoemd: deze is bron en oorsprong van alle dingen en bevat bijvoorbeeld alle getallen nodig om de voornaamste toonverhoudingen te definiëren. De elementen van het getal zijn het 'bepaalde' en het 'onbepaalde', termen die ook met andere gepaarde tegendelen (oneven-even, mannelijk-vrouwelijk, goed-kwaad) op één lijn gesteld werden.

De oorspronkelijke getallenleer van Pythagoras en de zijnen was derhalve geen wetenschappelijke wiskunde, maar eerder een toepassing, een soort metafysica van het getal; op den duur is echter ook in de school van Pythagoras, net als op andere plaatsen in de Griekse wereld, wiskunde op wetenschappelijke wijze beoefend.

Pythagoras stelde zich de getallen voor in bepaalde gedaanten. "Hij sprak van vierkante en kubusvormige getallen, van langwerpige, driehoekige en pyramidevormige getallen, en zo voort. Uit de getallenvormen werden dan de bewuste figuren opgebouwd. Blijkbaar vatte hij de wereld op als bestaande uit atomen, terwijl de lichamen dan waren samengesteld uit moleculen, die weer waren opgebouwd uit in verschillende vormen gerangschikte atomen. Op deze wijze trachtte hij de wiskunde te maken tot de grondslag, zowel voor de natuurkunde als voor de esthetica." (Russell, 1948)

En ook voor de ethiek, zou je kunnen zeggen. Pythagoras hechtte weinig waarde aan empirisch onderzoek. Wanneer er tussen de verschijnselen eenmaal wiskundige relaties waren ontdekt trok het denken zich terug in de sfeer van het ideële. Het denken is superieur aan de zintuiglijke waarneming. Het zuivere weten is gericht op het onstoffelijke, en bevrijdt de ziel uit de banden van de zinnelijkheid.

Hun voornaamste bijdrage ligt op het gebied van de getallenleer, terwijl zij de meetkunde in het algemeen op 'aritmetische' wijze beoefenden en daardoor onder meer geen raad wisten met het probleem van de irrationele wortels.

Kosmologie

Het is typerend voor Pythagoras dat hij deze waarneming heel snel extrapoleerde naar het heelal. De hemellichamen -ook de aarde- bewegen zich in cirkelvormige banen om een centraal vuur. Dat vuur zien wij niet, want aan de kant van de -kennelijk bolvormige- aarde waar je dat vuur wel zou kunnen zien is geen leven mogelijk. De stralen van deze banen verhouden zich als de tonen in het octaaf. Door hun beweging in deze banen brengen de hemellichamen muziek voort, een "hemelse symfonie".

Het heelal is dus een geordend geheel, een "kosmos". Dit idee van het heelal als kosmos zou een belangrijke bron van inspiratie worden.

Omdat tien het volmaakte getal was, moest het heelal dus wel uit tien hemellichamen bestaan. Met de vijf toen bekende planeten, de zon, de maan, de aarde en het centrale vuur kwam men slechts op het getal negen. Dan moest er, recht tegenover de aarde, een "tegenaarde" rond het centrale vuur cirkelen. Aarde en tegenaarde cirkelden in de kleinste baan; daarna kwam de maan, vervolgens de zon, en nog verder de planeten.

Archimedes vertelt dat er een volgeling van Plato was, Aristarchos, die aannam dat de aarde niet om een centraal vuur, maar om de zon cirkelde. Het geschrift, waarin Aristarchos dit beschreef, is helaas verloren gegaan.

Stelling van Pythagoras

http://meta.wikipedia.com/upload/pythagoras_abc.png

De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de meest bekende stelling in de wiskunde. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde van alle rechthoekige driehoeken.

In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypothenusa.

De stelling van Pythagoras luidt:

"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hypothenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden."

Anders geformuleerd: a2+b2=c2

De stelling van Pythagoras is één van de oudste stellingen uit de oudheid. Volgens de legende was Pythagoras zo is z'n nopjes met zijn ontdekking van de stelling dat hij een offer aan de goden bracht in de vorm van een paar ossen.

Bestand:Pythagoras3hoek.jpg

Er bestaan vele tientallen bewijzen van deze stelling. Een van de eenvoudigste vormen maakt gebruik van vier rechthoekige driehoeken, als in de afbeelding hiernaast. Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst.

De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)2.

De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken (4 maal 0,5ab) en de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte c2 heeft.

Dus (a+b)2=2ab + c2.
Uitwerken van het kwadraat links geeft:
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 Dus:
a2 + b2 = c2
Q.E.D.


De kleinste gehele waarden die aan de stelling van Pythagoras voldoen zijn 3,4,5 (32 + 42 = 52). Uiteraard voldoet ook elk veelvoud hiervan, zoals 62 + 82 = 102.

Er zijn oneindig veel combinaties van gehele getallen die aan de vergelijking x2+y2=z2 voldoen. (5,12,13) is een andere combinatie. Deze combinaties worden ook wel Pythagoreïsche tripletten genoemd.

Irrationele getallen

Nog veel belangrijker dan deze stelling was echter het uitgangspunt van de Pythagoreërs dat alles bestaat uit verhoudingen van getallen. Geleidelijk drong tot hen door dat er met "hun" driehoek iets niet klopte. Wanneer de korte zijden er van even lang zijn lukt het met geen mogelijkheid de verhouding tussen de lengte van een korte en van de lange zijde in getallen uit te drukken! Na lang denken vonden zij zelfs het bewijs dat dit onmogelijk is! Een triomf voor het verstand, een debacle voor een doctrine. Met alle macht probeerden zij deze inbreuk geheim te houden. Er wordt gefluisterd dat iemand die dit toch naar buiten bracht, bij een reis op de Middellandse Zee overboord werd gezet.

Deze desillusie was mogelijk de oorzaak dat de broederschap werd ontbonden.

Een ander gevolg was dat de Grieken aan de meetkunde de voorkeur gaven boven de rekenkunde. Pas in de zeventiende eeuw, met de komst van Descartes, zouden getallen weer de overhand krijgen.

Wiskunde

Een andere belangrijke wiskundige stelling waarvan de ontdekking aan Pythagoras wordt toegeschreven is de stelling dat in een driehoek de som van de grootte van de drie hoeken altijd gelijk aan 180° is.