Toeplitz-matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een Toeplitz-matrix, genoemd naar Otto Toeplitz, is een matrix met constante waarden op de hoofddiagonaal en de hiermee evenwijdige diagonalen. Dit betekent dat het element in rij en kolom gelijk is aan het element er rechtsonder, en in het algemeen aan element voor alle positieve waarden van

Voorbeeld van een Toeplitz-matrix:

Een Toeplitz-matrix is volledig bepaald door de eerste rij en de eerste kolom.

Verband met veeltermen[bewerken]

De coëfficiënten van een veeltermvermenigvuldiging van

en

zijn de elementen van de vector die het product is van de matrixvermenigvuldiging van een Toeplitz-matrix met de vector gevormd door de coëfficiënten van veelterm

Dit is equivalent aan het berekenen van de convolutie van twee rijen getallen. De Toeplitz-matrix is hier een bandmatrix: enkel de elementen op de hoofddiagonaal en een aantal diagonalen daarboven of daaronder zijn niet-nul. Rechtsboven en linksonder die diagonalen bestaat de matrix enkel uit nullen.

Voor deze en andere bewerkingen met Toeplitz-matrices bestaan efficiënte algoritmes. Dit is bijvoorbeeld zo voor het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen (in matrixvorm)

wanneer een Toeplitz-matrix is. Dergelijke stelsels duiken o.a. op in de digitale signaalverwerking (spraakherkenning en dergelijke).

Cyclische matrix[bewerken]

Een speciaal geval van een Toeplitz-matrix is een cyclische matrix. Dit is een matrix waarvan elke rij gelijk is aan de rij erboven maar dan één element naar rechts geroteerd:

Zo'n cyclische matrix is volledig bepaald door de eerste kolom (of rij); elke volgende kolom is een cyclische permutatie van de vorige kolom (of rij). Cyclische matrices komen bijvoorbeeld van pas bij de toepassing van discrete fouriertransformatie (DFT) op een rij getallen: de eigenwaarden van de cyclische matrix met die rij getallen als eerste rij vormen de DFT van die rij. Anders gezegd: de eerste rij van een cyclische matrix is de inverse DFT van de eigenwaarden van die matrix[1].

Zie ook[bewerken]

  • Hankel-matrix, waarin elk element gelijk is aan het element er rechtsboven in plaats van rechtsonder.

Voetnoten[bewerken]