Toeplitz-matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Toeplitz-matrix, genoemd naar Otto Toeplitz, is een matrix met constante waarden op de hoofddiagonaal en de hiermee evenwijdige diagonalen. Dit betekent dat het element op rij i en kolom j gelijk is aan het element er rechtsonder, en in het algemeen aan element voor alle positieve waarden van k.

Voorbeeld van een Toeplitz-matrix:

Een Toeplitz-matrix is volledig bepaald door de eerste rij en de eerste kolom.

Verband met veeltermen[bewerken]

De coëfficiënten van een veeltermvermenigvuldiging van

en

zijn de elementen van de vector die het product is van de matrixvermenigvuldiging van een Toeplitz-matrix met de vector gevormd door de coëfficiënten van veelterm b:

Dit is equivalent aan het berekenen van de convolutie van twee rijen getallen. De Toeplitz-matrix is hier een bandmatrix: enkel de elementen op de hoofddiagonaal en een aantal diagonalen daarboven of daaronder zijn niet-nul. Rechtsboven en linksonder die diagonalen bestaat de matrix enkel uit nullen.

Voor deze en andere bewerkingen met Toeplitz-matrices bestaan efficiënte algoritmes. Dit is bijvoorbeeld zo voor het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen (in matrixvorm)

wanneer A een Toeplitz-matrix is. Dergelijke stelsels duiken o.a. op in de digitale signaalverwerking (spraakherkenning en dergelijke).

Cyclische matrix[bewerken]

Een speciaal geval van een Toeplitz-matrix is een cyclische matrix. Dit is een matrix waarvan elke rij gelijk is aan de rij erboven maar dan één element naar rechts geroteerd:

Zo'n cyclische matrix is volledig bepaald door de eerste kolom (of rij); elke volgende kolom is een cyclische permutatie van de vorige kolom (of rij). Cyclische matrices komen bijvoorbeeld van pas bij de toepassing van discrete fouriertransformatie (DFT) op een rij getallen: de eigenwaarden van de cyclische matrix met die rij getallen als eerste rij vormen de DFT van die rij. Anders gezegd: de eerste rij van een cyclische matrix is de inverse DFT van de eigenwaarden van die matrix[1].

Zie ook[bewerken]

  • Hankel-matrix, waarin elk element gelijk is aan het element er rechtsboven in plaats van rechtsonder.

Voetnoten[bewerken]

  1. Robert M. Gray: "Toeplitz and circular matrices: a review."