Totale orde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Schematische weergave van een totale of lineaire orde. Merk op dat alleen de transitief-reflexieve reductie getoond wordt.

In de wiskunde is een totale orde of lineaire orde een ordeningsrelatie op een verzameling die het meest lijkt op de ordening zoals die bekend is van de getallenrechte. Een verzameling met een dergelijke orde erop, heet een totaal geordende, of lineair geordende verzameling. Een totaal of lineair geordende verzameling kan, zoals de term lineair al doet vermoeden, voorgesteld worden als een rechte lijn of een deelverzameling daarvan, met aan de ene kant van een element de opvolgers ervan en aan de andere kant zijn voorgangers. Een totaal geordende verzameling wordt met betrekking tot de ordening wel aangeduid als keten.

Definitie[bewerken]

Een totale orde of lineaire orde is een homogene tweeplaatsige relatie ≤, die antisymmetrisch, transitief en totaal is. Er geldt dus:

  • (antisymmetrie) voor alle xy \in X geldt: als x ≤ y en y ≤ x, dan x = y,
  • (transitiviteit) voor alle xyz \in X geldt: als x ≤ y en y ≤ z, dan x ≤ z, en
  • (totaliteit) voor alle xy \in X geldt dat x ≤ y of y ≤ x (of beide),

waarbij X het domein van ≤ is.

De functies min en max[bewerken]

  • min ( a , b ) is a als ab, en anders b
  • max ( a , b ) is b als ab, en anders a

De functies kunnen ook meer argumenten hebben. Ook kan er een parameter, eventueel met domein, onder de "min" of "max" staan, met daarachter een uitdrukking die van de parameter afhangt.

Het betekent steeds het kleinste en grootste element. Als de verzameling waarden oneindig groot is bestaan deze niet altijd.

De functies hebben de eigenschap dat toepassen van een monotoon niet-dalende functie op de argumenten hetzelfde oplevert als het toepassen van die functie op het resultaat. Bij een monotoon niet-stijgende functie verandert min in max en omgekeerd.

Zie ook inf en sup.

Zie ook[bewerken]