Translatiesymmetrie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Translatiesymmetrie is een vorm van symmetrie waarbij, voor ieder punt van een object geldt dat het hetzelfde blijft (invariantie) wanneer het in een bepaalde richting over een bepaalde lengte wordt verschoven. Formeel is dit alleen mogelijk bij een oneindig groot object, maar als dit wordt geïllustreerd met een eindig gedeelte ervan met voldoende herhaling in elke dimensie, dan is wel duidelijk welk oneindig object wordt bedoeld. Translatiesymmetrie komt bijvoorbeeld voor bij behang, en is ook een belangrijk begrip bij de beschrijving van kristallijne materialen.

Wiskundige beschrijving van translatiesymmetrie[bewerken | brontekst bewerken]

Wiskundig kan men stellen dat een functie translatiesymmetrie bezit als geldt dat voor alle waarden van . Dat laatste houdt in dat het ook moet gelden voor , dat wil zeggen moet gelijk zijn aan . Een functie met translatiesymmetrie is daarom een periodieke functie. Een voorbeeld van zo'n functie is de sinus met . Immers, .

Het begrip translatiesymmetrie kan gegeneraliseerd worden naar functies van meer dimensies, bijvoorbeeld . In dat geval wordt de verschuiving een driedimensionale vector: .

Translatiesymmetrie van een object houdt in dat zijn symmetriegroep een niet-triviale translatiegroep bevat. Elementen van deze groep zijn onder meer:

  1. , de identiteit
  2. , een translatie
  3. , twee keer die translatie

Het inverse element corresponderen met een keer terug transleren.

De volgorde, waarin twee transformaties worden uitgevoerd, kan worden omgewisseld. Er is een 1-op-1 verband tussen translaties en vectoren, dus ook tussen translatiegroepen en ondergroepen van de ruimte. De verzameling translatievectoren van de groep wordt het rooster genoemd.

Het is mogelijk om translatiesymmetrie te combineren met rotatiesymmetrie, bijvoorbeeld een tweetallige as . Er ontstaan dan elementen als . Zulke elementen vormen samen een ruimtegroep.

Translatiesymmetrie in kristallijne materialen[bewerken | brontekst bewerken]

Translatiesymmetrie in een kristallijn materiaal houdt in dat men de eenheidscel telkens weer opnieuw tegenkomt wanneer men in het kristal iets verder gaat. Deze translatiesymmetrie kan men het best beschrijven door middel van een eenheidsvector of celribbe. Omdat het kristal driedimensionaal is, zijn er voor een volledige beschrijving van de translatiesymmetrie drie zulke vectoren nodig, die niet in één vlak liggen. Het is mogelijk dat de eenheidscel door meer symmetrieën op zichzelf wordt afgebeeld. Dat hangt van het soort kristalstelsel van de eenheidscel af.

Gezamenlijk vormen deze vectoren een parallellepipedum of blok dat de eenheidscel wordt genoemd. De drie eenheidsvectoren noemt men wel de celribben of celconstanten. Afhankelijk van de aan- of afwezigheid van rotatiesymmetrie kunnen de ribben willekeurige hoeken met elkaar maken of moeten zij haaks op elkaar staan. Ook aan hun relatieve lengte zijn, afhankelijk van de totale symmetrie, beperkingen opgelegd.

Een afspraak die in de kristallografie is gemaakt, is om zo veel mogelijk de hoogst mogelijke symmetrie te gebruiken om een rooster te beschrijven. En waar dat mogelijk is, worden de kortste assen en gebruikt, die het rooster correct beschrijven.

In sommige gevallen is het mogelijk om een rooster te beschrijven met een hogere symmetrie door het volume van de eenheidscel te vermenigvuldigen met 2, 3 of 4. Dat heet centrering. Dit resulteert dan in een rooster dat ruimtelijk gecentreerd, grondvlak gecentreerd of vlakken gecentreerd is, dus niet primitief. Er zijn 14 combinaties van roosters met centreringen, de Bravaistralies.