Vectorprojectie

In de wiskunde, speciaal in de meetkunde en lineaire algebra, is vectorprojectie de (loodrechte) projectie in een euclidische ruimte van een vector op een andere. De vector kan zo worden ontbonden in een component langs de andere vector en een component loodrecht daarop.

Voor vectoren $x$ en $y$ in een euclidische ruimte is de (loodrechte) projectie van $x$ op $y$ de vector:

$x_{//}={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}\,y=\langle x,e_{y}\rangle e_{y}$

Daarin is $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ het standaardinproduct en $e_{y}=y/\|y\|$ de eenheidsvector in de richting van $y$.

Het verschil van $x$ en z'n projectie op $y$,

$x_{\perp }=x-x_{//}$

is een vector loodrecht op $y$. Er geldt immers:

$\langle x-{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}\,y,y\rangle =\langle x,y\rangle -\langle {\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}\,y,y\rangle =\langle x,y\rangle -{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}\langle y,y\rangle =0$

De vector $x$ is dus ontbonden in de twee onderling orthogonale componenten $x_{//}$ in de richting van $y$ en $x_{\perp }$ loodrecht op $y$:

$x=x_{//}+x_{\perp }$

Gebruik

De vectorprojectie vindt een belangrijke toepassing in de Gram-Schmidtmethode (voor het bepalen van een orthonormale basis in een vectorruimte).

Zie ook

• Lineaire algebra
• Rijvector
• Kolomvector