Veelvlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De vijf regelmatige veelvlakken
Een samengesteld veelvlak van vier door elkaar gevlochten kubussen
of nog gecompliceerder

Een veelvlak, polyeder of polyhedron, van het Oudgrieks: πολύς, polýs, veel en ἕδρα, hedra, basis of zit(vlak), is een object in drie dimensies, dat uitsluitend door een eindig aantal veelhoeken wordt begrensd. De veelhoeken heten de zijvlakken en de lijnstukken waarin de veelhoeken elkaar raken, de ribben. De ribben komen in de hoekpunten van het veelvlak bij elkaar. Voorbeelden van veelvlakken zijn de balk, in het bijzonder de kubus en de piramide. Bij een veelvlak waarvan alle hoekpunten op dezelfde bol liggen is er een bolvormig veelvlak met de hoekpunten in dezelfde posities, met delen van grote cirkels als ribben, en met dezelfde symmetrie als het gewone veelvlak. Omgekeerd is er bij een bolvormig veelvlak alleen een gewoon veelvlak als van elk gekromd zijvlak de hoekpunten in een vlak liggen. Dit is onder het geval bij boldriehoeken en bij regelmatige bolveelhoeken.

Wanneer twee verschillende veelvlakken zo in elkaar passen dat de middens van de zijvlakken van de één op de hoekpunten van de andere liggen, heten zij elkaars duale veelvlak.

De ribben en hoekpunten van een veelvlak vormen een graaf. Daarom kan bijvoorbeeld de term valentie (het aantal zijden waarmee een knoop van een graaf verbonden is) ook worden toegepast op hoekpunten van een veelvlak: het aantal ribben dat daar samenkomt.

De hoekpuntconfiguratie van een hoekpunt geeft in cyclische volgorde aan hoeveel zijden de zijvlakken rond een hoekpunt hebben, bijvoorbeeld 5.6.6 als een vijfhoek en twee zeshoeken samenkomen. Het aantal getallen is dus de valentie van het hoekpunt. De hoekpuntconfiguratie is ook aan de orde bij betegeling.

Veelvlakken kunnen worden ingedeeld naar aantal zijvlakken, ribben en hoekpunten en hun onderlinge relaties (zoals de cyclus van hoekpunten en ribben per zijvlak, cyclus van zijvlakken en ribben per hoekpunt). Een kubus kan bijvoorbeeld vervormd worden tot andere zesvlakken in dezelfde categorie, maar een vijfhoekige piramide en een driehoekige bipiramide zijn zesvlakken die bij deze indeling elk tot een andere categorie behoren. Bij een categorie waarbij de veelvlakken wat betreft de genoemde structuur chiraal zijn is er een categorie met de spiegelbeelden van die veelvlakken. Verder is er voor elke categorie een duale (soms dezelfde); in dit verband wordt met duaal bedoeld dat in de structuur zijvlakken en hoekpunten worden verwisseld. Zo is de categorie van driehoekige bipiramiden (inclusief onregelmatige) de duale van de categorie waar onder meer het driehoekig prisma onder valt.

Zelfdoorsnijdende en samengestelde veelvlakken[bewerken | brontekst bewerken]

Een niet-convex veelvlak is een zelfdoorsnijdend of een samengesteld veelvlak als zich ten aanzien van dat veelvlak gevallen voordoen van verschillende zijvlakken die op dezelfde veelhoek, zijvlak van het veelvlak, liggen. Zelfdoorsnijdend en samengesteld betekent niet hetzelfde: een zelfdoorsnijdend veelvlak is één geheel tussen zijvlakken, ribben en hoekpunten, terwijl een samengesteld veelvlak uit componenten bestaat, die zelf ieder weer een veelvlak zijn. Deze aparte zijvlakken op dezelfde veelhoek worden samen als één zijvlak beschouwd. De veelhoek telt als het zijvlak en doorsnijdt het lichaam. Iedere ribbe ligt op de plaats waar twee zijvlakken elkaar raken, maar de snijlijn van twee van zulke veelhoeken die elkaar doorsnijden, wordt niet als ribbe beschouwd. Ribben op dezelfde lijn, waarop twee veelhoeken elkaar raken, worden daarbij opgevat als één ribbe. Die ribben doorsnijden het lichaam. Maar het snijpunt van zo'n ribbe met een zijvlak dat de ribbe doorsnijdt, wordt niet als hoekpunt beschouwd.

Dit heeft invloed op het aantal zijvlakken, ribben en hoekpunten van het veelvlak, en op zijn regelmatigheid. In het bijzonder wordt een veelvlak met grote symmetrie soms opgevat als zelfdoorsnijdend of als een samengesteld veelvlak als daardoor het geheel op basis van de geldende criteria meer regelmatig wordt.

Formule van Euler[bewerken | brontekst bewerken]

Bij veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn is er een verband tussen het aantal hoekpunten , het aantal ribben en het aantal zijvlakken , dat wordt gegeven door de formule van Euler:

.

Transitiviteit[bewerken | brontekst bewerken]

Een veelvlak is hoekpunttransitief of isogonaal als er voor elk tweetal hoekpunten , van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij op afbeeldt.[1] Een nodige voorwaarde is dat in alle hoekpunten dezelfde soorten zijvlakken bij elkaar komen, in dezelfde of omgekeerde cyclische volgorde, en ook dat alle hoekpunten op een bol liggen.

Een veelvlak is ribbetransitief of isotoxaal als er voor elk tweetal ribben , van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij op afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat alle ribben even lang zijn en dat dezelfde twee soorten zijvlakken er bij elkaar komen.

Een veelvlak is zijvlaktransitief of isohedraal als er voor elk tweetal zijvlakken , van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij op afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat alle zijvlakken congruent zijn.

1rightarrow blue.svg Zie ook groepswerking.

Uniforme veelvlakken[bewerken | brontekst bewerken]

Een veelvlak heet uniform als het uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak heeft, en hoekpunttransitief is. De hoekpuntconfiguratie is dan voor elk hoekpunt hetzelfde, en wordt dan de hoekpuntconfiguratie van het uniforme veelvlak genoemd. Er is bij een gegeven hoekpuntconfiguratie niet meer dan één uniform veelvlak, behalve dat van de archimedische lichamen 3.3.3.3.4 en 3.3.3.3.5 elk twee chirale vormen bestaan, die elkaars spiegelbeeld zijn.

De uniforme veelvlakken worden als volgt ingedeeld:

  • Uniforme veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn, en uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak hebben.
    • De vijf platonische lichamen, dit zijn de niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde veelvlakken waarbij alle zijvlakken dezelfde regelmatige veelhoek zijn. Ze zijn naast hoekpunttransitief ook zijvlaktransitief, ribbetransitief en convex. Het zijn het regelmatige viervlak (3.3.3), de kubus (4.4.4), de octaëder (3.3.3.3), de dodecaëder (5.5.5) en de icosaëder (3.3.3.3.3).
    • De halfregelmatige veelvlakken, dit zijn de overige niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde isogonale veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak. Ze zijn symmetrisch en convex.
      • Een oneindige reeks prisma's .4.4, = 3, 5, 6, 7, .. ( = 4 past in de reeks, maar is een regelmatig veelvlak). Ze hebben dus twee soorten zijvlakken.
      • Een oneindige reeks antiprisma's .3.3.3, = 4, 5, 6, 7, .. ( = 3 past in de reeks, maar is een regelmatig veelvlak). Ze hebben dus twee soorten zijvlakken.
      • De 15 archimedische lichamen of veelvlakken, 13 als spiegelbeelden niet apart meetellen. Ze hebben twee of drie soorten zijvlakken. Het aantal hoekpunten per zijvlak kan zijn 3, 4, 5, 6, 8 en 10. De kuboctaëder (3.4.3.4) en de icosidodecaëder (3.5.3.5) zijn quasiregelmatig, dat wil zeggen dat ze ook ribbetransitief zijn.
  • Uniforme zelfdoorsnijdende veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak.
    • De vier kepler-poinsot-lichamen
    • Een oneindig aantal sterprisma's .4.4
    • Een oneindig aantal sterantiprisma's .3.3.3
    • De 53 halfregelmatige sterveelvlakken. Ze zijn isogonaal.
  • Uniforme samengestelde veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak.

Overige veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn, met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak:

  • De 92 johnson-lichamen, dit zijn de overige convexe veelvlakken waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn. Het aantal hoekpunten per zijvlak kan ook hierbij zijn 3, 4, 5, 6, 8 en 10.
  • Niet-convexe veelvlakken waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn, zoals een kubus met aan elk zijvlak eenzelfde kubus toegevoegd.

Een sterveelvlak is een veelvlak met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak, allemaal of daarvan sommige een sterveelhoek. Het zijn de kepler-poinsot-lichamen, de sterprisma's en de sterantiprisma's.

Andere veelvlakken[bewerken | brontekst bewerken]

Onder andere:

  • Catalanlichamen zijn de duale veelvlakken van de archimedische lichamen, maar hun zijvlakken zijn geen regelmatige veelhoeken. Ze zijn convex en zijvlaktransitief, maar niet hoekpunttransitief.
  • Goldbergveelvlakken zijn veelvlakken met volledige of chirale icosahedrale symmetrie met 12 regelmatige vijfhoeken, en verder zeshoeken die gelijkzijdig zijn (de zijden zijn even lang), maar waarvan de hoeken niet gelijk zijn. Er zijn er oneindig veel. Ze worden aangeduid als {5+,3}m,n met gehele getallen en , en . Ze hebben zijvlakken, ribben en hoekpunten, met . De goldbergveelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie zijn die met gelijk aan 0 of . {5+,3}1,0 is een regelmatig veelvlak en {5+,3}1,1 een archimedisch lichaam, ze vallen qua mate van regelmaat dus buiten deze categorie. Er zijn ook nog analoge veelvlakken met volledige tetrahedrale symmetrie en volledige octahedrale symmetrie met gelijkzijdige veelhoeken, maar dat is er maar één van elk, {3+,3}2,0 en {4+,3}2,0, en geen met de betreffende chirale symmetie.[2]
  • Een geodetisch veelvlak bestaat uit driehoeken en twaalf 5-valente hoekpunten en verder 6-valente. Het veelvlak is niet hoekpunttransitief, en de driehoeken zijn niet helemaal gelijkzijdig. Onder meer vallen de dualen {3,5+}m,n van de goldbergveelvlakken hieronder; ze hebben dezelfde symmetrie en net als de goldbergveelvlakken bij benadering de vorm van een bol. Andere uit driehoeken bestaande veelvlakken met ongeveer een bolvorm worden ook wel geodetische veelvlakken genoemd.
  • De hoekpunten van een regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam liggen op een bol . Er kan uitgaande van een nieuw veelvlak worden gemaakt, dat beter benadert, door op ieder zijvlak van een stompe piramide te zetten met de top ook op . Het nieuwe lichaam is geen regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam meer.
  • Bolvormige veelvlakken, waarbij de voorwaarde wordt losgelaten dat de zijvlakken vlak zijn.

Er zijn geen convexe veelvlakken die alleen ribbetransitief zijn.