Veelvlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De vijf regelmatige veelvlakken
Een samengesteld veelvlak van vier door elkaar gevlochten kubussen
Dit zeer gecompliceerde veelvlak heet een Great disnub dirhombidodecahedron

Een veelvlak, polyeder of polyhedron is een ruimtelijk object waar alle kanten begrensd zijn door platte zijvlakken en rechte ribben.

Situering[bewerken]

Waar de zijvlakken aan elkaar grenzen, zitten de ribben van het veelvlak, en waar de ribben elkaar tegenkomen, zitten de hoekpunten. In twee dimensies spreken we van een veelhoek. Cilinders en bollen zijn dus geen veelvlakken, balken en piramides zijn wel veelvlakken.

Polyhedron is de wetenschappelijke naam voor een veelvlak. Het woord is een samenstelling van de Griekse uitdrukkingen poly, dat veel betekent en hedron dat vrij vertaald vlak, zoals in oppervlak, betekent.

Net zoals veelhoeken kunnen worden ingedeeld naar al of niet zelfdoorsnijdend zijn, kan dat ook met veelvlakken.

Bij ruimtelijke niet-zelfdoorsnijdende veelvlakken is er een verband tussen het aantal hoekpunten h, het aantal ribben r en het aantal zijvlakken z. Dat verband wordt door de formule van Euler gegeven:

.

Veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak[bewerken]

  • Niet-zelfdoorsnijdende veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak.
    • Regelmatige veelvlakken (platonische lichamen), dit zijn veelvlakken waarbij alle zijvlakken dezelfde regelmatige veelhoek zijn. Er zijn er vijf: het viervlak, de kubus, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder.
    • Halfregelmatige veelvlakken, dit zijn veelvlakken waarbij de zijvlakken niet allemaal dezelfde regelmatige veelhoek zijn, maar wel in elk hoekpunt dezelfde schikking van vlakke hoeken voorkomt. De halfregelmatige veelvlakken zijn symmetrisch en convex.
    • Johnson-lichamen, dit zijn de overige convexe veelvlakken waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn.
    • Niet-convexe veelvlakken waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn, zoals een kubus met aan elk zijvlak eenzelfde kubus toegevoegd.
  • Zelfdoorsnijdende veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak.

De hoekpuntconfiguratie (vertex configuration) geeft aan welke zijvlakken in een hoekpunt samenkomen, bijvoorbeeld 5.6.6 als een vijfhoek en twee zeshoeken samenkomen. Binnen de regelmatige en halfregelmatige veelvlakken is deze uniek, behalve dat van 3.3.3.3.4 en 3.3.3.3.5 elk twee chirale vormen bestaan, die elkaars spiegelbeeld zijn.

Andere veelvlakken[bewerken]

Onder andere:

  • Catalan-lichamen zijn de duale veelvlakken van de Archimedische lichamen, maar hun zijvlakken zijn geen regelmatige veelhoeken.
  • Veelvlakken die, zoals in de figuur rechts, zijn ontstaan door verschillende veelvlakken in een te combineren. Zij zijn niet convex.
  • Bolvormige veelvlakken waarbij de voorwaarde wordt losgelaten, dat de zijvlakken vlak zijn. De zijvlakken zijn gebogen. De zijvlakken liggen desalniettemin regelmatig over het oppervlak van het veelvlak.

Zie ook[bewerken]