Veelvlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De vijf regelmatige veelvlakken
Een samengesteld veelvlak van vier door elkaar gevlochten kubussen
of nog gecompliceerder

Een veelvlak, polyeder of polyhedron, van het Oudgrieks: πολύς, polýs, veel en ἕδρα, hedra, basis of zit(vlak), is een object in drie dimensies, dat uitsluitend door een eindig aantal veelhoeken wordt begrensd. De veelhoeken heten de zijvlakken en de lijnstukken waarin de veelhoeken elkaar raken, de ribben. De uiteinden van de ribben heten de hoekpunten van het veelvlak. Voorbeelden van veelvlakken zijn de balk, in het bijzonder de kubus en de piramide. Cilinders en bollen zijn geen veelvlakken, maar een veelvlak waarvan alle hoekpunten op dezelfde bol liggen heet een bolvormig veelvlak.

Wanneer twee verschillende veelvlakken zo in elkaar passen dat de middens van de zijvlakken van de één op de hoekpunten van de andere liggen, heten zij elkaars duale veelvlak.

Zelfdoorsnijdende en samengestelde veelvlakken[bewerken]

Een niet-convex veelvlak is een zelfdoorsnijdend of een samengesteld veelvlak als zich ten aanzien van dat veelvlak gevallen voordoen van verschillende zijvlakken die op dezelfde veelhoek, zijvlak van het veelvlak, liggen. Zelfdoorsnijdend en samengesteld betekent niet hetzelfde: een zelfdoorsnijdend veelvlak is één geheel tussen zijvlakken, ribben en hoekpunten, terwijl een samengesteld veelvlak uit componenten bestaat, die zelf ieder weer een veelvlak zijn. Deze aparte zijvlakken op dezelfde veelhoek worden samen als één zijvlak beschouwd. De veelhoek telt als het zijvlak en doorsnijdt het lichaam. Iedere ribbe ligt op de plaats waar twee zijvlakken elkaar raken, maar de snijlijn van twee van zulke veelhoeken die elkaar doorsnijden, wordt niet als ribbe beschouwd. Ribben op dezelfde lijn, waarop twee veelhoeken elkaar raken, worden daarbij opgevat als één ribbe. Die ribben doorsnijden het lichaam. Maar het snijpunt van zo'n ribbe met een zijvlak dat de ribbe doorsnijdt, wordt niet als hoekpunt beschouwd.

Dit heeft invloed op het aantal zijvlakken, ribben en hoekpunten van het veelvlak, en op zijn regelmatigheid. In het bijzonder wordt een veelvlak met grote symmetrie soms opgevat als zelfdoorsnijdend of als een samengesteld veelvlak als daardoor het geheel op basis van de geldende criteria meer regelmatig wordt.

Formule van Euler[bewerken]

Bij veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn is er een verband tussen het aantal hoekpunten , het aantal ribben en het aantal zijvlakken , dat wordt gegeven door de formule van Euler:

.

Transitiviteit[bewerken]

Een veelvlak is hoekpunttransitief of isogonaal als er voor elk tweetal hoekpunten , van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij op afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat in alle hoekpunten dezelfde soorten zijvlakken bij elkaar komen, in dezelfde of omgekeerde cyclische volgorde, en ook dat alle hoekpunten op een bol liggen.

Een veelvlak is ribbetransitief of isotoxaal als er voor elk tweetal ribben , van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij op afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat in alle ribben dezelfde soorten zijvlakken bij elkaar komen.

Een veelvlak is zijvlaktransitief of isohedraal als er voor elk tweetal zijvlakken , van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij op afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat alle zijvlakken congruent zijn.

1rightarrow blue.svg Zie ook groepswerking.

Veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak[bewerken]

Een veelvlak heet regelmatig als het hoekpunttransitief, ribbetransitief en zijvlaktransitief is. Het zijn de vijf regelmatige veelvlakken en de vier kepler-poinsot-lichamen.

Een veelvlak heet uniform als het uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak heeft, en hoekpunttransitief is. De hoekpuntconfiguratie geeft daarbij aan welke zijvlakken in een hoekpunt samenkomen, bijvoorbeeld 5.6.6 als een vijfhoek en twee zeshoeken samenkomen. Deze is uniek, behalve dat van de archimedische lichamen 3.3.3.3.4 en 3.3.3.3.5 elk twee chirale vormen bestaan, die elkaars spiegelbeeld zijn. De hoekpuntconfiguratie is ook aan de orde bij betegeling.

De uniforme veelvlakken worden als volgt ingedeeld:

  • Uniforme veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn, en uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak hebben.
    • De vijf platonische lichamen, dit zijn de niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde veelvlakken waarbij alle zijvlakken dezelfde regelmatige veelhoek zijn. Ze zijn isogonaal, isotoxaal, isohedraal en convex. Het zijn het regelmatige viervlak 3.3.3, de kubus 4.4.4, de octaëder 3.3.3.3, de dodecaëder 5.5.5 en de icosaëder 3.3.3.3.3.
    • De halfregelmatige veelvlakken, dit zijn de overige niet-zelfdoorsnijdende niet-samengestelde isogonale veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak. Ze zijn symmetrisch en convex.
      • Een oneindige reeks prisma's .4.4, voor = 4 een regelmatig veelvlak
      • Een oneindige reeks antiprisma's .3.3.3, voor = 3 een regelmatig veelvlak.
      • De 15 archimedische lichamen of veelvlakken, 13 als spiegelbeelden niet apart meetellen
  • Uniforme zelfdoorsnijdende veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak.
    • De vier kepler-poinsot-lichamen
    • Een oneindig aantal sterprisma's .4.4
    • Een oneindig aantal sterantiprisma's .3.3.3.
    • De 53 halfregelmatige sterveelvlakken. Ze zijn isogonaal.
  • Uniforme samengestelde veelvlakken met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak.

Overige veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn, met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak:

  • De 92 johnson-lichamen, dit zijn de overige convexe veelvlakken waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn.
  • Niet-convexe veelvlakken waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn, zoals een kubus met aan elk zijvlak eenzelfde kubus toegevoegd.

Een sterveelvlak is een veelvlak met uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak, allemaal of daarvan sommige een sterveelhoek. Het zijn de kepler-poinsot-lichamen, de sterprisma's en de sterantiprisma's.

Andere veelvlakken[bewerken]

Onder andere:

  • Catalan-lichamen zijn de duale veelvlakken van de archimedische lichamen, maar hun zijvlakken zijn geen regelmatige veelhoeken. Ze zijn convex en isohedraal, maar niet isogonaal.
  • De hoekpunten van een regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam liggen op een bol . Er kan uitgaande van een nieuw veelvlak worden gemaakt, dat beter benadert, door op ieder zijvlak van een stompe piramide te zetten met de top ook op . Het nieuwe lichaam is geen regelmatig veelvlak of archimedisch lichaam meer.
  • Bolvormige veelvlakken, waarbij de voorwaarde wordt losgelaten dat de zijvlakken vlak zijn.