Vermoeden van Bieberbach

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, werd het vermoeden van Bieberbach (alternatief ook wel de stelling van de Brange genoemd), in 1916 voor het eerst geformuleerd door de Duitse wiskundige, Ludwig Bieberbach. Het vermoeden werd in 1984 bewezen door de Franse wiskundige Louis de Branges.

Het vermoeden van Bieberbach houdt in dat er een noodzakelijke voorwaarde op een holomorfe functie bestaat om de open eenheidsschijf van de complexe vlak injectief op het complexe vlak af te beelden.

De bewering heeft betrekking op de Taylor-coëfficiënten an van een dergelijke functie, zoals altijd mogelijk is genormaliseerd, opdat a0 = 0 en a1 = 1. Dat wil zeggen dat wij een holomorfe functie van de vorm

f(z)=z+\sum_{n\geq 2} a_n z^n

beschouwen, die gedefinieerd is en injectief is op de open eenheidsschijf (zulke functies worden ook wel eenwaardige functies of Schlicht-functies genoemd). De stelling beweert dan dat

\left| a_n \right| \leq n \quad \mbox{voor alle }n\geq 2.\,