Vermoeden van Catalan

Het vermoeden van Catalan, nu soms aangeduid als de stelling van Mihăilescu, is een stelling in de getaltheorie, die in 1844 als vermoeden werd opgesteld door de Belgische wiskundige Eugène Catalan en in 2002 door de Roemeense wiskundige Preda Mihăilescu is bewezen. Het vermoeden gaat over twee machten van natuurlijke getallen, zoals $2^{3}$ en $3^{2}$ waarvan de waarden 8 en 9 opeenvolgende gehele getallen zijn. Het vermoeden is dat dit het enige geval van twee opeenvolgende machten is. Dat wil zeggen, dat de enige oplossing in de natuurlijke getallen van

$x^{a}-y^{b}=1$

met $x,y,a,b>1$ is $x=3,a=2,y=2$ en $b=3$.

Men hield zich al voor Catalan met dit soort problemen bezig en omstreeks 1320 bewees Levi ben Gershon dat de enige machten van 2 en van 3 die een verschil van 1 hebben, 8 en 9 zijn. Leonhard Euler (1707-1783) toonde aan dat de vergelijking $a^{2}-b^{3}=1$ voor gehele $a$ en $b$, alleen de oplossing $a=3$ en $b=2$ heeft. Het vermoeden van Catalan werd in 1844 gepubliceerd in het Journal für die reine und angewandte Mathematik als ingezonden brief.

De stelling van Tijdeman ging aan de door Preda Mihăilescu bewezen stelling vooraf. Er is volgends de stelling van Tijdeman ten hoogste een eindig aantal opeenvolgende machten. Deze stelling is minder sterk dan het vermoeden van Catalan. Het lukte Preda Mihăilescu, die toen aan de universiteit van Paderborn werkte, in april 2002 het bewijs van het vermoeden van Catalan te geven, waardoor het een wiskundige stelling werd. Bijvoorbeeld het vermoeden van Fermat-Catalan en het vermoeden van Beal zijn overeenkomstige stellingen, die al zijn bewezen of nog moeten worden bewezen.

voetnoten

websites

• MathWorld. Catalan's Conjecture.
• J Daems. A Cyclotomic Proof of Catalan’s Conjecture, 29 september 2003. Een cyclotomisch bewijs van het vermoeden van Catalan
• P Mihăilescu Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture, 23 januari 2006. in Journal für die reine und angewandte Mathematik 572, blz 167–195
• R Tijdeman. On the equation of Catalan, 1976. in Acta Arithmetica 29, 2, blz 197–209