Vermoeden van Erdős-Straus

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het vermoeden van Erdős-Straus is een nog niet bewezen vermoeden uit de getaltheorie dat stelt dat door welk getal groter dan 1 je 4 ook deelt, het quotiënt altijd de som van 3 stambreuken is. Paul Erdős en Ernst G. Straus stelden het vermoeden op in 1948. Het is een van de vele vermoedens van Erdős.

Formeel luidt het vermoeden: voor iedere gehele n\ge 2 geldt dat er getallen x,y,z\in \Z zijn, zo dat

\frac 4n = \frac 1x + \frac 1y + \frac 1z.

Berekende toetsing[bewerken]

Verscheidene auteurs hebben met brute kracht naar tegenbewijs gezocht. Dit zoeken ging een stuk sneller door alleen priemgetallen te bekijken met verschillende equivalentierelaties. Zo heeft Allan Swett dit bekeken tot 10^{14}.[1]

Modulaire gelijkheid[bewerken]

Als beide kanten van de vergelijking 4/n = 1/x + 1/y +1/z met nxyz vermenigvuldigd worden, ontstaat de vergelijking 4xyz = n(xy + xz + yz). Als polynomiale vergelijking met gehele getallen is dit een diofantische vergelijking.

Het aantal oplossingen[bewerken]

Het aantal verschillende mogelijkheden als functie van n om 4/n als som van 3 stambreuken te schrijven heeft computers ook aan het rekenen gezet. Dit aantal schijnt onregelmatig te groeien met n. Te beginnen bij n=3 is het aantal verschillende mogelijkheden:

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... (rij A073101) in OEIS.

Zelfs voor grotere n kunnen er relatief weinig oplossingen zijn. Zo zijn er bijvoorbeeld maar 7 verschillende oplossingen voor n=73.

Externe link[bewerken]