Vermoeden van Erdős-Straus

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het vermoeden van Erdös-Straus is een nog niet bewezen vermoeden uit de getaltheorie. Het stelt dat door welk getal groter dan 1 je 4 ook deelt, het is altijd de som van 3 stambreuken. Paul Erdős en Ernst G. Straus stelden het vermoeden op in 1948. Het is een van de vele vermoedens van Erdös.

In een formule luidt het vermoeden: voor iedere gehele n ≥ 2 geldt: Er zijn een x, y en z voor iedere n zodat

\frac4n = \frac1x + \frac1y + \frac1z.

Berekende toetsing[bewerken]

Verscheidene auteurs hebben met brute kracht naar tegenbewijs gezocht die de stelling onwaar zouden maken. Dit zoeken ging een stuk sneller door alleen priemgetallen te bekijken met verschillende equivalentierelaties. Zo heeft Allan Swett dit bekeken tot 10^{14}.[1]

Modulaire gelijkheid[bewerken]

Als je beide kanten met van de vergelijking 4/n = 1/x+ 1/y+1/z met nxyz vermenigvuldigt krijg je de vergelijking 4xyz = n(xy + xz + yz). Als polynoom met gehele getallen is dit een Diophantische vergelijking.

Het aantal oplossingen[bewerken]

Het aantal verschillende oplossingen voor het 4/n-probleem als functie van n heeft computers ook aan het rekenen gezet voor kleine n en dit schijnt onregelmatig te groeien met n. Als je begint bij n=3 is het aantal verschillende oplossingen:

   1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... (rij A073101) in OEIS.

Zelfs voor grotere n kunnen er relatief weinig oplossingen zijn. Er zijn er bijvoorbeeld maar 7 verschillende oplossingen voor n = 73

Externe links[bewerken]

Bronnen[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties