Vermoeden van Erdős-Straus

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het vermoeden van Erdős-Straus is een nog niet bewezen vermoeden uit de getaltheorie dat stelt dat door welk getal groter dan 1 je 4 ook deelt, het quotiënt altijd de som van 3 stambreuken is. Paul Erdős en Ernst G. Straus stelden het vermoeden op in 1948. Het is een van de vele vermoedens van Erdős.

Formeel luidt het vermoeden: voor iedere gehele geldt dat er getallen zijn, zo dat

Berekende toetsing[bewerken]

Verscheidene auteurs hebben met brute kracht naar tegenbewijs gezocht. Dit zoeken ging een stuk sneller door alleen priemgetallen te bekijken met verschillende equivalentierelaties. Zo heeft Allan Swett dit bekeken tot .[1]

Modulaire gelijkheid[bewerken]

Als beide kanten van de vergelijking met vermenigvuldigd worden, ontstaat de vergelijking . Als polynomiale vergelijking met gehele getallen is dit een diofantische vergelijking.

Het aantal oplossingen[bewerken]

Het aantal verschillende mogelijkheden als functie van om als som van 3 stambreuken te schrijven heeft computers ook aan het rekenen gezet. Dit aantal schijnt onregelmatig te groeien met . Te beginnen bij is het aantal verschillende mogelijkheden:

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... (rij A073101) in OEIS.

Zelfs voor grotere kunnen er relatief weinig oplossingen zijn. Zo zijn er bijvoorbeeld maar 7 verschillende oplossingen voor .

Externe link[bewerken]