Verschalen (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de Euclidische meetkunde is een uniforme verschaling een lineaire transformatie die objecten vergroot of verkleint; De schaalfactor is in alle richtingen dezelfde; de operatie wordt ook wel een homothetie genoemd. Het resultaat van een uniforme verschaling is gelijkvormig (in de meetkundige zin) met het origineel.

Meer algemeen is verschaling met voor elke as afzonderlijke schaalfactoren; een speciaal geval hiervan is richtingverschaling (dat wil zeggen verschaling in één richting). Vormen kunnen veranderen; een rechthoek kan veranderen in een rechthoek met een andere vorm, maar ook in een parallellogram (de hoeken tussen de lijnen, die parallel aan de assen lopen, blijven in stand, maar de hoeken niet).

Matrixweergave[bewerken]

Een verschaling kan worden weergegeven door een verschalingsmatrix. Om een object te verschalen met een vector v = (vx, vy, vz), moet elk punt p = (px, py, pz) worden vermenigvuldigt met deze verschalingsmatrix:

 S_v = 
\begin{bmatrix}
v_x & 0 & 0  \\
0 & v_y & 0  \\
0 & 0 & v_z  \\
\end{bmatrix}

Zoals hieronder wordt getoond, geeft een vermenigvuldiging het verwachte resultaat:


S_vp =
\begin{bmatrix}
v_x & 0 & 0  \\
0 & v_y & 0  \\
0 & 0 & v_z  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
v_xp_x \\ v_yp_y \\ v_zp_z
\end{bmatrix}

Deze verschaling verandert de diameter van een object met een factor die tussen de schaalfactoren in ligt, de oppervlakte door een factor die tussen het kleinste en het grootste product van de twee schaalfactoren inligt, en de inhoud door het product van alle drie.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]