Vlakke kromme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een vlakke kromme (vaak kortweg kromme genoemd) een kromme in een plat vlak dat kan een euclidisch vlak, een affien vlak of een projectief vlak zijn. De meest bestudeerde gevallen zijn de gladde vlakke krommen (met inbegrip van stuksgewijs gladde vlakke krommen) en algebraïsche krommen. Een kromme die niet in een plat vlak ligt, wordt ruimtekromme genoemd.

Gladde vlakke kromme[bewerken]

Een gladde vlakke kromme is een kromme in een reëel euclidisch vlak en een eendimensionale gladde vartiëteit. Dit betekent dat een gladde vlakke kromme een vlakke kromme is die "lokaal op een rechte lijn" lijkt, in de zin dat in de buurt van elk punt de kromme door een gladde functie afgebeeld kan worden op een rechte lijn.

Equivalent daarmee kan een gladde vlakke kromme lokaal worden gegeven door een vergelijking , waarin een gladde functie is, en de partiële afgeleiden en niet allebei 0 zijn op enig punt van de kromme.

Algebraïsche vlakke kromme[bewerken]

Een vlakke algebraïsche kromme is een kromme in een affien vlak die gegeven wordt door een veeltermvergelijking of in een projectief vlak gegeven door een vergelijking waarin een homogene veelterm is.

Algebraïsche krommen werden uitvoerig bestudeerd in de 18e eeuw.

De graad van de definiërende vergelijking heet ook de graad van de algebraïsche vlakke kromme. In het geval van een gesloten algebraïsch getallenlichaam is deze graad gelijk aan het aantal snijpunten van de kromme met een rechte in algemene ligging. Zo heeft de cirkel gegeven door de vergelijking , de graad 2.

De niet-singuliere vlakke algebraïsche krommen van graad 2 worden kegelsneden geneoemd, en hun projectieve voltooiing zijn alle isomorf met de projectieve completering van de cirkel . De niet-singuliere derdegraads vlakke algebraïsche krommen worden elliptische krommen genoemd.

Voorbeelden[bewerken]

Name Implicit equation Parametric equation As a function graph
Rechte lijn Gerade.svg
Cirkel framless
Parabool Parabola.svg
Ellips framless
Hyperbool Hyperbola.svg

Zie ook[bewerken]

Literatuur[bewerken]

  • Coolidge, J. L., A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, April 28, 2004. ISBN 0-486-49576-0..
  • Yates, R. C., A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards, 1952..