Voetpuntskromme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Meetkundige constructie van de voetpuntskromme: trek een loodlijn op de raaklijn in een punt R van de kromme, en de evenwijdige aan die loodlijn vanuit P naar de raaklijn geeft dan een punt X van de voetpuntskromme.

In de meetkunde is de voetpuntskromme van een vlakke kromme C ten opzichte van een vast punt P, de meetkundige plaats van punten X waarvoor geldt dat de rechte lijn PX loodrecht is ten opzichte van een raaklijn T aan C die door X gaat.

Anders gezegd: Als T een raaklijn aan de kromme C is, dan is er een uniek punt X op T waarin de lijn PX loodrecht staat op T. Dat punt is een voetpunt en de kromme die bestaat uit alle voetpunten is de voetpuntskromme.

Wanneer een kromme K de voetpuntskromme is van een kromme C, dan is C de negatieve voetpuntskromme van K.

Voorbeelden[bewerken]

Constructie van de voetpuntskromme van een hyperbool met het middelpunt als voetpunt geeft een lemniscaat.

Enkele voorbeelden van krommen met hun voetpuntskrommen:

  • De voetpuntskromme van een rechte lijn bestaat, voor een willekeurig punt, uit een enkel voetpunt, namelijk het snijpunt van de loodlijn uit dat punt op de rechte.
  • De voetpuntskromme van een cirkel met als vast punt het middelpunt van de cirkel, is die cirkel zelf. Als het punt in de cirkel ligt maar niet in het middelpunt, is de voetpuntskromme een limaçon. Als het punt op de cirkelomtrek ligt, is de voetpuntskromme een cardioïde.
  • De voetpuntskromme van een ellips met als vast punt een brandpunt, is een cirkel.
  • De voetpuntskromme van een hyperbool met als vast punt een brandpunt, is een cirkel.
  • De voetpuntskromme van een hyperbool moet als vast punt het middelpunt, is een lemniscaat van Bernoulli.
  • De voetpuntskromme van een parabool met als vast punt het brandpunt is een rechte lijn.
  • De voetpuntskromme van een parabool met als vast punt de top van de parabool is een cissoïde van Diocles.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]