Von Mangoldt-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie is de Von Mangoldt-functie een getaltheoretische functie, dus gedefinieerd op de positieve gehele getallen, opgesteld door en genoemd naar de Duitse wiskundige Hans von Mangoldt. De functie is alleen ongelijk aan 0 voor getallen die een macht van een priemgetal zijn, en heeft dan de waarde van de natuurlijke logaritme van dat priemgetal.

Definitie[bewerken]

De Von Mangoldt-functie, meestal genoteerd als , is gedefinieerd door:

De waarden van de functie vormen een rij die begint met:

De exponenten van de functiewaarden zijn gelijk aan 1 of het enkele priemgetal waarvan het argument een macht is. Expliciet geldt:

waarin het kleinste gemene veelvoud voorstelt.

De waarden vormen de rij

die te vinden is als A014963 in OEIS.

De Von Mangoldt-functie is een belangrijk voorbeeld van een getaltheoretische functie die noch multiplicatief, noch additief is. De functie voldoet aan de volgende identiteit:

.

De sommatie-index loopt dus over alle gehele getallen die deler zijn van . Dit resultaat is een gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde, aangezien de termen die geen macht van een priemgetal zijn, gelijk zijn aan 0. Stel bijvoorbeeld dat met priemfactoren

.

Dan is:

.

De cumulatieve Von Mangoldt-functie, ook Chebyshev-functie, , is gedefinieerd als

.

Von Mangoldt gaf een streng bewijs voor een expliciete formule voor met gebruikmaking van de som over de niet-triviale nulpunten van de Riemann-zèta-functie. Dit vormde een belangrijk deel van het eerste bewijs van de priemgetalstelling.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]