Von Mangoldt-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie is de Von Mangoldt-functie een getaltheoretische functie, dus gedefinieerd op de positieve gehele getallen, opgesteld door en genoemd naar de Duitse wiskundige Hans von Mangoldt. De functie is alleen ongelijk aan 0 voor getallen die een macht van een priemgetal zijn, en heeft dan de waarde van de natuurlijke logaritme van dat priemgetal.

Definitie[bewerken]

De Von Mangoldt-functie, meestal genoteerd als \Lambda(n), is gedefinieerd door:

\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \mbox{als }n=p^k \mbox{ voor een priemgetal } p \mbox{ en een geheel getal } k \ge 1, \\  \\ 0 & \mbox{anders.} \end{cases}

Dit is een rij die begint met:

\log 1, \log 2, \log 3, \log 2, \log 5, \log 1, \log 7, \log 2, \log 3,\ldots

De exponenten van de functiewaarden zijn;

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3,\ldots

Deze rij staat ook als A014963 in OEIS.

Voor deze rij geldt:

e^{\Lambda(n)}=\frac{\rm{kgv}(1,2,3,\ldots,n)}{\rm{kgv}(1,2,3,\ldots,n-1)}

waarin \rm kgv het kleinste gemene veelvoud voorstelt.

De Von Mangoldt-functie is een belangrijk voorbeeld van een getaltheoretische functie die noch multiplicatief, noch additief is. De functie voldoet aan de volgende identiteit:

\log n  = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d).

De sommatie-index loopt dus over alle gehele getallen d die deler zijn van n. Dit resultaat is een gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde, aangezien de termen die geen macht van een priemgetal zijn, gelijk zijn aan 0. Stel bijvoorbeeld dat n=12 met priemfactoren

n=12=2^2\times 3.

Dan is:

\sum_{d\,\mid\,12} \Lambda(d) = \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12) =
= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(2^2) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda(2^2 \times 3)=
= 0 + \log 2 + \log 3 + \log 2 + 0 + 0 =\log (2 \times 3 \times 2) = \log 12.

De cumulatieve Von Mangoldt-functie, ook Chebyshev-functie, \psi, is gedefinieerd als

\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n).

Von Mangoldt gaf een streng bewijs voor een expliciete formule voor \psi(x) met gebruikmaking van de som over de niet-triviale nulpunten van de Riemann-zèta-functie. Dit vormde een belangrijk deel van het eerste bewijs van de priemgetalstelling.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]