Von Mangoldt-functie

In de getaltheorie is de Von Mangoldt-functie een getaltheoretische functie, dus gedefinieerd op de positieve gehele getallen, opgesteld door en genoemd naar de Duitse wiskundige Hans von Mangoldt. De functie is alleen ongelijk aan 0 voor getallen die een macht van een priemgetal zijn, en heeft dan de waarde van de natuurlijke logaritme van dat priemgetal.

Definitie

De Von Mangoldt-functie, meestal genoteerd als $\Lambda (n)$, is gedefinieerd door:

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{als }}n=p^{k}{\mbox{ voor een priemgetal }}p{\mbox{ en een geheel getal }}k\geq 1,\\\\0&{\mbox{anders.}}\end{cases}}$

De waarden van de functie vormen een rij die begint met:

$0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,0,\ldots$

De exponenten van de functiewaarden zijn gelijk aan 1 of het enkele priemgetal waarvan het argument een macht is. Expliciet geldt:

$e^{\Lambda (n)}={\frac {\rm {{kgv}(1,2,3,\ldots ,n)}}{\rm {{kgv}(1,2,3,\ldots ,n-1)}}}$

waarin ${\rm {kgv}}$ het kleinste gemene veelvoud voorstelt.

De waarden vormen de rij

$1,2,3,2,5,1,7,2,3,\ldots$

die te vinden is als A014963 in OEIS.

De Von Mangoldt-functie is een belangrijk voorbeeld van een getaltheoretische functie die noch multiplicatief, noch additief is. De functie voldoet aan de volgende identiteit:

$\log n=\sum _{d\,\mid \,n}\Lambda (d)$.

De sommatie-index loopt dus over alle gehele getallen $d$ die deler zijn van $n$. Dit resultaat is een gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde, aangezien de termen die geen macht van een priemgetal zijn, gelijk zijn aan 0. Stel bijvoorbeeld dat $n=12$ met priemfactoren

$n=12=2^{2}\times 3$.

Dan is:

$\sum _{d\,\mid \,12}\Lambda (d)=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)=$

$=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (2^{2})+\Lambda (2\times 3)+\Lambda (2^{2}\times 3)=$

$=0+\log 2+\log 3+\log 2+0+0=\log(2\times 3\times 2)=\log 12$.

De cumulatieve Von Mangoldt-functie, ook Chebyshev-functie, $\psi$, is gedefinieerd als

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)$.

Von Mangoldt gaf een streng bewijs voor een expliciete formule voor $\psi (x)$ met gebruikmaking van de som over de niet-triviale nulpunten van de Riemann-zèta-functie. Dit vormde een belangrijk deel van het eerste bewijs van de priemgetalstelling.

Zie ook

• Priemgetal-telfunctie

Externe links

• Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
• Chris King, Primes out of thin air (2010)
• Heike, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)