Wereldlijn

Algemene relativiteitstheorie
$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$
(de Einstein-vergelijking)
Achtergrond Speciale relativiteit Equivalentieprincipe · Wereldlijn Coördinaat-onafhankelijkheid Wiskundige achtergrond: tensoren Metrische tensor
Vergelijkingen Einstein-vergelijking Friedmannvergelijking ADM-formalisme
Oplossingen Schwarzschildmetriek Reissner-Nordströmmetriek Kerrmetriek
Experimentele verificatie Gravitationeel lenseffect Zwarte gaten Perihelium-precessie
Gevorderde onderwerpen Kaluza-klein-theorie Kwantumgravitatie
Wetenschappers Einstein · Minkowski · Eddington Lemaître · Schwarzschild Friedmann · Chandrasekhar Hawking

Een wereldlijn is een concept uit de relativiteitstheorie, dat op een abstracte manier het afgelegde pad van een voorwerp in de ruimtetijd beschrijft. Het is nauw verwant aan het begrip traject, maar is meer aangepast aan de relativiteitstheorie door ruimte en tijd op een gelijke manier te behandelen.

Uitleg

Stel dat men een bewegend deeltje wil beschrijven. In de Newtoniaanse mechanica wordt het pad van een deeltje beschreven door zijn positie-coördinaten te geven als functie van de tijd:

${\vec {x}}={\vec {x}}(t)$

Indien men datzelfde deeltje wil beschrijven in de relativiteitstheorie, is de bovenstaande vergelijking nogal onnatuurlijk. In de relativiteitstheorie worden tijd en ruimte immers niet als afzonderlijke grootheden gezien, maar coördinaten die gezamenlijk één object, de ruimtetijd, beschrijven. De tijd is dus geen absolute grootheid. Daarom beschrijft men in de relativiteitstheorie het pad van een deeltje liever als een welbepaalde lijn in de ruimtetijd. Men neemt dan een parameter die het pad beschrijft, maar niet noodzakelijk gelijk is aan de tijd. Als men deze parameter $\tau$ noemt, schrijft men in de relativiteitstheorie dus iets als

$(t,{\vec {x}})=(t(\tau ),{\vec {x}}(\tau ))$

Het gehele pad van het deeltje wordt op deze manier een kromme in de ruimtetijd, en is dus in zekere zin één object. Dit object noemt men de wereldlijn. In principe is de grootheid $\tau$ (waarmee men de wereldlijn parametriseert) willekeurig gekozen, maar meestal neemt men hiervoor de eigentijd van het deeltje. Door differentiëren krijgt men dan de viersnelheid, waarvan de grootte, afhankelijk van de conventies, altijd 1 en/of altijd $c^{2}$ is.

Weergave

Verschillende wereldlijnen: drie deeltjes bewegen langs de x-as, elk met een constante snelheid (t is de tijd en x de positie).

Het is eenvoudig om de bovenstaande uitleg wat concreter te maken met een afbeelding. Stel dat op tijdstip $t=0$ drie deeltjes vertrekken, en zich bewegen langs de x-richting, met constante snelheid. De tekening rechts geeft weer wat (voor elk van de deeltjes) de positie is als functie van de tijd. (De tijd is wel verticaal weergegeven.) Anderzijds kan men dit ook bekijken als volgt: voor elk deeltje is de overeenkomstige lijn precies de verzameling van punten in de ruimtetijd waar het deeltje is geweest. Die drie rechten zijn dus de drie wereldlijnen van de deeltjes.

Meerdimensionale objecten

Een wereldlijn van een deeltje, een wereldoppervlak van een snaar en een wereldvolume van een braan.

Men kan nu de bovenstaande uitleg herhalen voor meerdimensionale objecten. In de snaartheorie worden bijvoorbeeld kleine trillende snaartjes bestudeerd, die zich verplaatsen door de ruimte(tijd). Zo een snaartje is een object met dimensie 1: het heeft immers een lengte. Als we kijken naar alle punten in de ruimtetijd die door een snaar doorlopen worden, zien we een tweedimensionaal oppervlak. Die wordt ook wel het wereldoppervlak van de snaar genoemd. Bovendien zijn er in de snaartheorie (en zijn nauwe verwanten, M-theorie en F-theorie) ook meerdimensionale objecten relevant: branen. Als een braan ruimtelijke dimensie p heeft (een trillend oppervlak bijvoorbeeld heeft dimensie 2), dan is zijn wereldvolume een p+1-dimensionaal oppervlak in de ruimtetijd. Dit zijn dus hoger dimensionale veralgemeningen van het begrip wereldlijn.

Relatie met het begrip traject

In de klassieke mechanica wordt soms gesproken van het traject of de baan van een voorwerp. Daarmee bedoelt men de verzameling van punten in de ruimte waar een voorwerp voorbijkomt in zijn beweging. Dat is erg gelijkaardig aan het begrip wereldlijn, maar er is een klein verschil. In de terminologie van de eerste sectie, is de baan van een deeltje gegeven door de kromme

$x(t)$

in de Newtoniaanse beschrijving. Het is dus een kromme die geheel in de ruimte ligt, en geparametriseerd wordt door $t$. Het is dus eigenlijk de projectie van de wereldlijn (gelegen in de ruimtetijd) op een ruimtelijk deelvlak. Als men bijvoorbeeld een planeet beschouwt in een twee-dimensionale wereld, welke beweegt rond een ster, is de baan een cirkel rond deze ster (dat is dus een kromme in het twee-dimensionale vlak), terwijl de wereldlijn (als men de tijd verticaal voorstelt) een spiraal is in de driedimensionale ruimte.

Tijdachtig of lichtachtig

De wereldlijn van een object is een tijdachtige kromme. De wereldlijn van een lichtpuls is een lichtachtige kromme.

Een wereldlijn van een object waarop geen niet-gravitatiekrachten werken, of van een lichtpuls, is tevens een geodeet.

Over het algemeen worden modellen gehanteerd waarbij een wereldlijn zichzelf niet snijdt. Zie echter ook gesloten tijdachtige kromme.

Zie ook

• Ruimtetijd
• Speciale relativiteitstheorie
• Snaartheorie
• Eigentijd

Externe links

• Leestekst over de Minkowski-ruimte, ruimtetijd en wereldlijnen.
• (en) Wereldlijnen en relativiteitstheorie kort uitgelegd.