Wiener filter

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Wiener-filtering is een methode om een vervuild signaal – dat bestaat uit een nuttig- en een ruissignaal – te filteren. De bedoeling is om zo veel mogelijk ruis te verwijderen, zodanig dat het zuiver signaal zo optimaal mogelijk wordt benaderd. De methode werd ontworpen door Norbert Wiener in de jaren 40.

Het voordeel van deze methode is dat het makkelijk te implementeren is in een wiskundepakket (bijvoorbeeld MATLAB). Het nadeel is de vereiste informatie over zowel het zuiver signaal als het ruissignaal. Deze signalen worden stationair verondersteld en moeten beide ongecorreleerd zijn. Het filter zal dan goed werken bij bijvoorbeeld witte gaussiaanse ruis.

Het filter wordt gekarakteriseerd door zijn impulsantwoord. Dit impulsantwoord is te vinden door het oplossen van de Wiener-Hopf-vergelijking: De afleiding hiervan steunt op statische overwegingen over het projectietheorema: De kleinste kwadratische afwijking minimaal maken.

Probleemstelling[bewerken]

De ingang van het filter wordt beschouwd als een zuiver signaal dat vervuild is met additieve ruis . Het resultaat van het filter wordt verkregen door een convolutie met :

met

  • het zuivere signaal
  • de additieve ruis
  • het vervuilde signaal
  • het impulsantwoord van het filter
  • het gefilterde signaal

De fout is gedefinieerd als het verschil tussen het zuivere signaal en het gefilterde signaal:

Het zuivere signaal wordt verschoven over om rekening te houden met de vertraging van het filter.

De kwadratische fout wordt zo:

Afhankelijk van de waarde van kunnen we drie soorten problemen onderscheiden:

  • : voorspelling (de fout wordt kleiner als lijkt op latere waarden van )
  • : filtering (de fout wordt kleiner als lijkt op )
  • : smoothing (de fout wordt kleiner als lijkt op eerdere waarden van )

We kunnen de convolutie uitschrijven:

.

Substitueren in de vergelijking voor en het bereken van de verwachtingswaarde levert:

met

  • de autocorrelatiefunctie van
  • de autocorrelatiefunctie van
  • de kruiscorrelatiefunctie van and

Indien het signaal en de ruis ongecorreleerd zijn geldt het volgende:

Voor veel toepassingen is dit een redelijke aanname aangezien de ruis niet afhangt van het signaal zoals bijvoorbeeld quantisatieruis en sensorruis.

Het doel van het filter is te minimaliseren door het bepalen van een optimale