Wishartverdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De wishartverdeling is een multivariate kansverdeling. De verdeling is in meer dimensies een generalisatie van de chi-kwadraatverdeling en bij een niet-geheel aantal vrijheidsgraden van de gamma-verdeling. De verdeling is genoemd naar John Wishart, die de verdeling voor het eerst formuleerde in 1928.[1]

De wishartverdelingen vormen een familie van verdelingen van stochastische grootheden met als waarden symmetrische niet-negatief definiete matrices. Zij spelen een belangrijke rol bij de schattingen van covariantiematrices in de multivariate statistiek. In Bayesiaanse statistiek is de wishartverdeling de geconjugeerde a-prioriverdeling van de inverse covariantiematrix van een meerdimensionaal normaalverdeelde stochastische vector.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Zij een -matrix waarvan de rijen onderling onafhankelijk zijn en elke rij een steekproef is uit een -dimensionale multivariate normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en covariantiematrix .

De wishartverdeling is dan de kansverdeling van de stochastische -matrix , en men noteert;

Het positieve gehele getal heet het aantal vrijheidsgraden. Voor is met kans 1 niet-inverterrbaar als niet-inverterrbaar is.

Voor en komt de wishartverdeling overeen met de chi-kwadraatverdeling met 1 vrijheidsgraad.

Kansdichtheid[bewerken | brontekst bewerken]

Zij een positieve -matrix en een positief-definiete symmetrische stochastische -matrix die wishartverdeeld is met parameters en :

Dan wordt de kansdichtheid van gegeven wordt door:

Daarin staat voor de determinant van een matrix, stelt het spoor van een matrix voor, en is de meerdimensionale gammafunctie, gedefinieerd door:

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

De matrix in de wishartverdeling is een schaalparameter, in de zin dat als de stochastische matrix wishartverdeeld is met parameters :

,

de gestandaardiseerde matrix wishartverdeeld is met parameters :

,

waarin de -dimensionale eenheidsmatrix is.

De wishartverdeling is reproductief, wat inhoudt dat als onderling onafhankelijke wishartverdeelde matrices zijn, met

,

de som ook wishartverdeeld is met vrijheidsgraden: