Wortelgemiddelde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of Höldergemiddelde, genoemd naar Otto Hölder, is een veralgemening van het gewone rekenkundig gemiddelde. Het wortelgemiddelde met macht p van een rijtje getallen wordt als volgt berekend: verhef alle getallen tot de macht p, bepaal het gemiddelde van deze p-de machten en trek uit dit gemiddelde de p-de-machtswortel. Het veralgemeend gemiddelde kan naast het rekenkundig gemiddelde (p = 1) ook het meetkundig gemiddelde (p = 0), het kwadratisch gemiddelde (p = 2) en het harmonisch gemiddelde (p = -1) beschrijven.

Definitie[bewerken]

Voor het reële getal is het -de-machtswortelgemiddelde van de niet-negatieve getallen gedefinieerd door:

.

Ook voor de limietgevallen , en is het wortelgemiddelde gedefinieerd en wel is:

(het meetkundig gemiddelde)
(het minimum van de getallen)
(het maximum van de getallen)

Voorbeelden[bewerken]

  • p=1 geeft het rekenkundig gemiddelde: .
  • p=2 geeft het kwadratisch gemiddelde:
  • p=-1 geeft het harmonisch gemiddelde

Eigenschappen[bewerken]

  • Het wortelgemiddelde is homogeen, d.w.z. voor geldt:
.
  • De berekening van een wortelgemiddelde kan opgesplitst worden in blokken van gelijke grootte:
  • Algemeen geldt voor :
.
  • Het wortelgemiddelde van n dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:
.
  • Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.
.

Veralgemening[bewerken]

Er bestaat ook een zinvolle veralgemening van het wortelgemiddelde tot oneindig veel getallen, zie Lp-ruimte.

Bewijzen voor de limietgevallen[bewerken]

[bewerken]

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor . Immers:

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

.

Omdat de exponentiële functie continu is, volgt:

[bewerken]

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor . Immers:

Laat , dan is:

.

[bewerken]

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor .

Dit is een direct gevolg van de betrekking: