Wortelgemiddelde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of Höldergemiddelde (genoemd naar Otto Hölder, 1859–1937), is een veralgemening van het gewone rekenkundig gemiddelde. Door het invoeren van een parameter bevat het naast dit 'gewoon' gemiddelde ook de varianten meetkundig gemiddelde, kwadratisch gemiddelde en harmonisch gemiddelde.

Definitie[bewerken]

Voor een reëel getal is het -de-machtswortelgemiddelde van de niet-negatieve getallen gedefinieerd als:

.

Ook voor en is het wortelgemiddelde gedefinieerd en wel is:

(het meetkundig gemiddelde)
(het minimum van de getallen)
(het maximum van de getallen)

Speciale gevallen[bewerken]

  • het kwadratisch gemiddelde:
  • het rekenkundig gemiddelde
  • het harmonisch gemiddelde
  • het subharmonisch gemiddelde
  • De speciale gevallen en kunnen opgevat worden als limietgevallen.

Limietgevallen[bewerken]

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor . Immers:

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

.

Omdat de exponentiële functie continu is, volgt:


Het wortelgemiddelde is de limiet van voor . Immers:

Laat , dan is:

.


Het wortelgemiddelde is de limiet van voor .

Dit is een direct gevolg van de betrekking:

Eigenschappen[bewerken]

  • Het wortelgemiddelde is homogeen, d.w.z. voor geldt:
.
  • De berekening van een wortelgemiddelde kan opgesplitst worden in blokken van gelijke grootte:
  • Algemeen geldt voor :
.
  • Het wortelgemiddelde van n dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:
.
  • Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.
.

Veralgemening[bewerken]

Er bestaat ook een zinvolle veralgemening van het wortelgemiddelde tot oneindig veel getallen, zie Lp-ruimte.