Wortelgemiddelde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of Höldergemiddelde, genoemd naar Otto Hölder, is een veralgemening van het gewone rekenkundig gemiddelde. Het wortelgemiddelde met macht p van een rijtje getallen wordt als volgt berekend: verhef alle getallen tot de macht p, bepaal het gemiddelde van deze p-de machten en trek uit dit gemiddelde de p-de-machtswortel. Het veralgemeend gemiddelde kan naast het rekenkundig gemiddelde (p = 1) ook het meetkundig gemiddelde (p = 0), het kwadratisch gemiddelde (p = 2) en het harmonisch gemiddelde (p = -1) beschrijven.

Definitie[bewerken]

Voor het reële getal is het -de-machtswortelgemiddelde van de niet-negatieve getallen gedefinieerd door:

.

Ook voor de limietgevallen , en is het wortelgemiddelde gedefinieerd en wel is:

(het meetkundig gemiddelde)
(het minimum van de getallen)
(het maximum van de getallen)

Voorbeelden[bewerken]

  • p=1 geeft het rekenkundig gemiddelde: .
  • p=2 geeft het kwadratisch gemiddelde:
  • p=-1 geeft het harmonisch gemiddelde

Eigenschappen[bewerken]

  • Het wortelgemiddelde is homogeen, d.w.z. voor geldt:
.
  • De berekening van een wortelgemiddelde kan opgesplitst worden in blokken van gelijke grootte:
  • Algemeen geldt voor :
.
  • Het wortelgemiddelde van n dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:
.
  • Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.
.

Veralgemening[bewerken]

Er bestaat ook een zinvolle veralgemening van het wortelgemiddelde tot oneindig veel getallen, zie Lp-ruimte.

Bewijzen voor de limietgevallen[bewerken]

[bewerken]

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor . Immers:

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

.

Omdat de exponentiële functie continu is, volgt:

[bewerken]

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor . Immers:

Laat , dan is:

.

[bewerken]

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor .

Dit is een direct gevolg van de betrekking: