Wortelgemiddelde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of Höldergemiddelde (genoemd naar Otto Hölder, 1859–1937), is een veralgemening van het gewone rekenkundig gemiddelde. Door het invoeren van een parameter bevat het naast dit 'gewoon' gemiddelde ook de varianten meetkundig gemiddelde, kwadratisch gemiddelde en harmonisch gemiddelde.

Definitie[bewerken]

Voor een reëel getal p\ne 0 is het p-de-machtswortelgemiddelde van de niet-negatieve getallen a_1, a_2,\ldots, a_n gedefinieerd als:

W_p (a_1, a_2,\ldots, a_n) = \left(\frac 1n \sum_{k=1}^{n} a_k^p\right)^{1/p}.

Ook voor p= 0, p=-\infty en p=\infty is het wortelgemiddelde gedefinieerd en wel is:

W_0(a_1, a_2,\ldots, a_n)= \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n} (het meetkundig gemiddelde)
W_{-\infty}(a_1, a_2,\ldots, a_n) = \min\{a_1, a_2,\ldots, a_n\} (het minimum van de getallen)
W_\infty(a_1, a_2,\ldots, a_n) = \max\{a_1, a_2,\ldots, a_n\} (het maximum van de getallen)

Speciale gevallen[bewerken]

Limietgevallen[bewerken]

Het wortelgemiddelde W_0 is de limiet van W_p voor p \to 0. Immers:

W_p(a_1,\ldots,a_n) = \exp{\left( \ln{\left(\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k^p \right)^{1/p}} \right) } = \exp{\left( \frac{\ln{\left(\sum_{k=1}^n a_k^p \right)}-\ln n}{p} \right) }

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

\lim_{p \to 0}  \frac{\ln{\left(\sum_{k=1}^n a_k^p \right)-\ln n}}{p} = \lim_{p \to 0} \frac{\sum_{k=1}^n a_k^p \ln{a_k}}{\sum_{k=1}^n a_k^p} = \frac 1n \sum_{k=1}^n \ln{a_k} = \ln\left((a_1a_2\ldots a_n)^{1/n}\right).

Omdat de exponentiële functie continu is, volgt:

\lim_{p \to 0} W_p(a_1,a_2,\ldots ,a_n) = \exp{\ln\left((a_1a_2\ldots a_n)^{1/n}\right)} = (a_1a_2\ldots a_n)^{1/n} = W_0(a_1,a_2,\ldots ,a_n)


Het wortelgemiddelde W_\infty is de limiet van W_p voor p \to \infty. Immers:

Laat a=\max\{a_1,a_2,\ldots ,a_n\}, dan is:

\lim_{p \to \infty} W_p(a_1,a_2,\ldots ,a_n) = \lim_{p \to \infty} \left( \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k^p \right)^{1/p} = a \lim_{p \to \infty} \left( \frac 1n \sum_{k=1}^n  \left( \frac{a_k}{a} \right)^p \right)^{1/p} = a = W_\infty (a_1,a_2,\ldots ,a_n).


Het wortelgemiddelde W_{-\infty} is de limiet van W_p voor p \to -\infty.

Dit is een direct gevolg van de betrekking:

W_{-\infty} (a_1,a_2,\ldots ,a_n) = \frac{1}{W_\infty (1/a_1,1/a_2,\ldots ,1/a_n)}.

Eigenschappen[bewerken]

  • Het wortelgemiddelde is homogeen, d.w.z. voor \lambda > 0 geldt:
W_p (\lambda a_1,\lambda a_2,\ldots ,\lambda a_n) = \lambda W_p(a_1, a_2,\ldots , a_n).
  • De berekening van een wortelgemiddelde kan opgesplitst worden in blokken van gelijke grootte:
W_p(a_1,\ a_2, \ldots,a_{m\cdot k}) =  W_p(W_p(a_1,\ldots,a_k), W_p(a_{k+1},\ldots, a_{2k}),\ldots, W_p(a_{(m-1)k + 1},\ldots,x_{m\cdot k}))
  • Algemeen geldt voor -\infty \le s \le t \le \infty:
W_s (a_1, a_2,\ldots , a_n) \le W_t (a_1, a_2,\ldots , a_n).
  • Het wortelgemiddelde van n dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:
W_p (a, a, \ldots , a) =a.
  • Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.
s \neq t \and W_s (a_1, a_2,\ldots, a_n) = W_t (a_1, a_2,..., a_n) \implies a_1 = a_2 = \ldots = a_n.

Veralgemening[bewerken]

Er bestaat ook een zinvolle veralgemening van het wortelgemiddelde tot oneindig veel getallen, zie Lp-ruimte.