Schlager speelde in de jeugd van SC St. Valentin en in 2009 werd hij opgenomen in de opleiding van Red Bull Salzburg. Zijn debuut in het eerste elftal maakte de middenvelder op 11 mei 2016, op bezoek bij SV Grödig. Die club kwam op voorsprong door een treffer van Daniel Schütz, maar door doelpunten van Takumi Minamino en Dimitri Oberlin won Red Bull het duel met 1–2. Schlager mocht van coach Óscar García in de basis beginnen en hij speelde het gehele duel mee.[1] Zijn eerste doelpunt volgde op 11 maart 2017. Admira Wacker kwam door een doelpunt van Maximilian Sax voor, maar Schlager tekende elf minuten voor tijd op aangeven van Wanderson voor de beslissende gelijkmaker: 1–1.[2] Na afloop van het seizoen 2016/17 zette de Oostenrijker zijn handtekening onder een vernieuwde verbintenis, tot medio 2021.[3] In de zomer van 2019 verkaste Schlager voor een bedrag van circa vijftien miljoen euro naar VfL Wolfsburg, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van vier seizoenen.[4] In juni 2022 werd hij aangetrokken door RB Leipzig, dat circa twaalf miljoen euro voor hem betaalde.[5]