Zwaartelijn

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Driehoek met een zwaartelijn
Het zwaartepunt O in de driehoek CBA

Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en de overliggende zijde in het midden snijdt. Een zwaartelijn verdeelt een driehoek in twee driehoeken met gelijke oppervlakte. In beperkte zin wordt met een zwaartelijn ook wel het lijnstuk bedoeld van het hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde.

De drie zwaartelijnen verdelen elkaar in de verhouding 1:2.

Zwaartepunt[bewerken]

Het zwaartepunt van een driehoek is het punt waar de drie zwaartelijnen van die driehoek elkaar snijden. De cartesische coördinaten van het zwaartepunt van een driehoek zijn de gemiddelden van de coördinaten van de hoekpunten. De barycentrische coördinaten van het zwaartepunt zijn (1:1:1). Het zwaartepunt ligt op de rechte van Euler. Het is het driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(2).

  • , en zijn de vectoren naar de hoekpunten A, B en C. Dan ligt het zwaartepunt van de driehoek ABC in
  • Voor de verhouding tussen de lengte in de driehoek geldt: EO:OA=1:2, FO:OB=1:2 en DO:OC=1:2.

Iedere zwaartelijn deelt de oppervlakte van de driehoek in twee gelijke helften. Er zijn geen andere lijnen door het zwaartepunt, die ook de oppervlakte van de driehoek in twee gelijke helften delen. De drie zwaartelijnen van een driehoek delen de driehoek daarom in zes driehoeken met gelijke oppervlakten. In de figuur zijn dit de driehoeken AOD, DOB, BOE, EOC, COF en FOA.

Het zwaartepunt van een driehoek, zo gedefinieerd als het snijpunt van de drie zwaartelijnen, valt samen met het geometrische zwaartepunt van de driehoek.

Lengtes[bewerken]

De driehoek ABC heeft de zijden a, b en c zo dat a tegenover A , b tegenover B en c tegenover C ligt. De lengte van de zwaartelijn uit A wordt gegeven door:

.

Hieruit laat zich eenvoudig afleiden dat het viervoud van de som van de kwadraten van de zwaartelijnen gelijk is aan het drievoud van de som van de kwadraten van de zijden.

,

waarin en de lengtes van de zwaartelijnen uit respectievelijk B en C zijn.

Afbeeldingen van het zwaartepunt in een driehoek[bewerken]

Triangle centroid 1.svg
Triangle centroid 2.svg