Euclidisch domein

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de abstracte algebra en de ringtheorie, deelgebieden van de wiskunde, is een euclidisch domein een ring die aan bepaalde voorwaarden voldoet. Het is een commutatieve ring waarin de geheeltallige deling is gedefinieerd.

Voor de getallen geldt de hoofdstelling van de rekenkunde, die zegt dat ieder getal als het product van priemgetallen kan worden geschreven. Met het algoritme van Euclides is de grootste gemene deler van twee getallen te bepalen en volgens de stelling van Bachet-Bézout is die grootste gemene deler een lineaire combinatie van de twee oorspronkelijke getallen. Deze eigenschappen gelden ook in een euclidisch domein. Ieder ideaal in een euclidisch domein is een hoofdideaal.

Een euclidisch domein komt in de onderstaande keten van deelverzamelingen voor:

eindige lichamen/veldenlichamen (Nederlands) / velden (Belgisch) ⊂ Euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinenunieke factorisatiedomeinenintegriteitsdomeinencommutatieve ringenringen

Definitie euclidische functie[bewerken | brontekst bewerken]

Een euclidische functie op een integriteitsdomein is een functie van naar de niet-negatieve gehele getallen met de eigenschap (deling met rest):

Als en elementen zijn van , dan bestaan er elementen en in zodanig dat waarbij ofwel ofwel .

Definitie euclidisch domein[bewerken | brontekst bewerken]

Een euclidisch domein is een integriteitsdomein waaraan minstens een euclidische functie kan worden toegevoegd.

Let wel: een specifieke euclidische functie is zelf niet onderdeel van de structuur van een euclidisch domein; in het algemeen zal een euclidisch domein veel verschillende euclidische functies kennen.

Opmerking[bewerken | brontekst bewerken]

Veel auteurs stellen dat een euclidische functie bovendien aan de volgende additionele eis moet voldoen:

  • Voor alle elementen in geldt .