Bjørkan speelde in de jeugdopleiding van Bodø/Glimt. In 2016 maakte hij zijn debuut in het eerste elftal, op 17 april. Op die dag werd in de Eliteserien met 1–2 verloren van Molde FK. Bodø/Glimt kwam door een treffer van Henrik Furebotn op voorsprong, maar door doelpunten van Thomas Amang en Per-Egil Flo won Molde alsnog. Bjørkan moest van zijn vader, destijds coach bij de club, op de reservebank beginnen en hij mocht vier minuten voor het einde van de wedstrijd invallen voor Emil Jonassen.[1] In het eerste jaar van Bjørkan in het eerste elftal degradeerde de club naar de 1. divisjon. Hier werd het direct kampioen in 2017, waarna het terugkeerde in de Eliteserien. In 2019 werd Bodø/Glimt Noors landskampioen. Na afloop van het kampioenschap verlengde de linksback zijn verbintenis bij de club tot en met december 2021.[2] In januari 2022 maakte Bjørkan transfervrij de overstap naar Hertha BSC, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van vierenhalf jaar.[3]Feyenoord huurde de Noor in de zomer van 2022 voor het komende seizoen, met een optie tot koop.[4] In januari 2023 werd de verhuurperiode hij Feyenoord afgebroken en keerde Bjørkan transfervrij terug bij zijn oude club Bodø/Glimt.[5][6]