Gamma-matrices zijn anticommuterende 4x4-matrices
die voldoen aan de relaties
![{\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{0}=I,\quad \gamma ^{k}\gamma ^{k}=-I,\quad k=1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a84fa58105f2c0965bdc0f0749af28f8221d28c)
en voor
![{\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888900e623f33cdbbff6a51a2ff948067de0ff46)
waar
de 4x4-eenheidsmatrix is. Deze relaties kunnen samengevat worden als
.
is de metrische tensor
.
Er zijn veel mogelijkheden om te voldoen aan deze relaties.
Het is gebruikelijk het product van de vier gamma-matrices te noteren als
.
De gamma-matrices vinden vooral toepassing in de relativistische kwantumveldentheorie, bij het beschrijven van de elektromagnetische wisselwerking van fermionen. De Diracvergelijking kan in relativistische eenheden worden geschreven als
![{\displaystyle (\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8848d89dbe96d933981959231dee564fa0d69a7b)
waarbij
de (relativistische) golffunctie is,
is de massa van het fermion, en de einstein-sommatieconventie is gebruikt (sommatie over de index
).
Dirac-matrices
De Dirac-matrices voldoen aan bovenstaande relaties en zijn dus gamma-matrices.
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0da91371ea4d189a71922946698734c831bcd5)
![{\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2680c00ce6db927fca19b34e199529f27a953ccb)
.
Weyl-matrices
Ook de Weyl-matrices zijn gamma-matrices:
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade2b02a0193e65af9a4aebbc65c34ed2f5297af)
,
zijn hetzelfde als in de Dirac matrices.
is diagonaal.
.
De Weyl-matrices zijn bekend als de spinor representatie.