zijn gehele getallen.
is een priemgetal.
Beschouw
als representant van alle gehele getallen die niet deelbaar zijn door
.
Voor alle gehele getallen
die niet deelbaar zijn door
geldt:
is deelbaar door
.
are whole numbers.
p is a prime number.
Here is the proof that
is divisible by
.
The following is worth mentioning..
is divisible by
.
Hier volgt het bewijs dat
deelbaar is door
.
Het volgende is het vermelden waard.
is deelbaar door
.
Is
deelbaar door
?[bewerken | brontekst bewerken]
en
zijn gehele getallen.
is een priemgetal.
Voor
is de bewering waar.
Laten we aannemen dat de volgende bewering voor het getal
waar is:
Dan moet deze bewering ook waar zijn voor het getal
.
De bewering
i s waar.
Hieruit volg:
.[bewerken | brontekst bewerken]
De bewering is dat
De bewering is
is waar.
zijn gehele getallen..
is een priemgetal.
Is
deelbaar door
.
Het volgende is het vermelden waard.
is deelbaar door p.
are whole numbers.
is a prime number.
You choose a random number
.
Then there is always a number
is divisible by
.
Is A^(p-1)-B^(p-1) divisible by p? A different path[bewerken | brontekst bewerken]
are whole numbers.
is a prime number.
There is a number
and there is a number
.
is divisible by
.
Quod erat demonstrandum
Inductie stap een.
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {C^{p-1}-1}{p}}={\frac {2^{p-1}-1}{p}}={\frac {1}{p}}\sum _{k=1}^{p-1}\displaystyle {\tbinom {p-1}{k}}{(2-1)^{k}}={\frac {1}{p}}\sum _{k=1}^{p-1}\displaystyle {\tbinom {p-1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae9395a5a9d1b1468d30125d35a178ede000519)
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
{
![{\displaystyle {\binom {p-1}{k}}+{\binom {p-1}{k+1}}={\frac {(p-1)!(k+1+p-1-k)}{(p-(k+1))!(k+1)!}}={\binom {p}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73aec81ebf5505d2db816c56d464139392ab42f)
Voor
geldt
Inductie stap twee.
Voor een zeker getal
geldt:
Inductie stap drie.
Het getal
is gelijk aan:
Het getal
is gelijk aan:
Dan volgt daaruit:
Elk getal
kunnen we schrijven als
moet een p-voud zijn.
Elk getal
kan worden geschreven als
moet een p-voud zijn.
Inductiestap een.
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
![{\displaystyle {\binom {p-1}{k}}+{\binom {p-1}{k+1}}={\frac {(p-1)!(k+1+p-1-k)}{(p-(k+1))!(k+1)!}}={\binom {p}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73aec81ebf5505d2db816c56d464139392ab42f)
Voor
is de stelling waar.
Inductiestap twee
We nemen de waarheid van de stelling voor een zeker getal
aan.
Dus:
Inductiestap drie.
De stelling is dus juist.
Een alternatief.
De stelling is dus juist.
Elk getal
kan worden geschreven als
moet een p-voud zijn.
Stap een.
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {A^{p-1}-1}{p}}={\frac {2^{p-1}-1}{p}}={\frac {1}{p}}\sum _{k=1}^{p-1}\displaystyle {\tbinom {p-1}{k}}{(2-1)^{k}}={\frac {1}{p}}\sum _{k=1}^{p-1}\displaystyle {\tbinom {p-1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c403deb2413988cd9f45af59cd0ba6aee5e7e8)
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
![{\displaystyle {\binom {p-1}{k}}+{\binom {p-1}{k+1}}={\frac {(p-1)!(k+1+p-1-k)}{(p-(k+1))!(k+1)!}}={\binom {p}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73aec81ebf5505d2db816c56d464139392ab42f)
Voor
is de stelling waar.
Stap twee
Stel dat:
We gaan er vanuit dat
en
beiden niet deelbaar zijn door
.
en
zijn gehele getallen.
en
zijn resten na deling door
.
Een stap verder.
Wederom gaan we er vanuit dat
en
beiden niet deelbaar zijn door
.
en
zijn gehele getallen.
is de rest na deling door
.
is nul, dus zijn
en
beiden deelbaar door
.
![{\displaystyle A=2\Longrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3969db9890bf65e74e444454e2065a3a32a7e4)
![{\displaystyle A=3\Longrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bf263b831f7d6abafa73e4956d457384b0755f)
![{\displaystyle A=4\Longrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83492892674560bd64de03d1d753069004ca4954)
![{\displaystyle A=5\Longrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed2c55be3c45e50cebaac4575f618518a223320)
![{\displaystyle A=6\Longrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3234ccff6286d8591431c608c90fa089235dabb9)
![{\displaystyle A=8\Longrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc88996ff765bb9047111686e12bae14ef543f02)
is een positief geheel getal.
Op basis van bovenstaande berekeningen komen we voor
tot de volgende formule:
Het volgende is niet meer dan een vermoeden:
![{\displaystyle {\frac {\textstyle \sum _{k=0}^{p-2}\displaystyle {\binom {p-1}{k}}1^{p-1-k}}{p}}={\frac {\textstyle \sum _{k=0}^{p-2}\displaystyle {\binom {p-1}{k}}}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225556205d5d1fdcb028065f87cf7809bebecc95)
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
![{\displaystyle {\binom {p-1}{k}}+{\binom {p-1}{k+1}}={\frac {(p-1)!(k+1+p-1-k)}{(p-(k+1))!(k+1)!}}={\binom {p}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73aec81ebf5505d2db816c56d464139392ab42f)
Voor
is de stelling waar.
![{\displaystyle 1.(A^{4}+4A^{3}+6A^{2}+4A^{1}+1)+4.(A^{3}+3A^{2}+3A^{1}+1)+6.(A^{2}+2A^{1}+1)^{2}+4.(A+1)=A^{4}+8A^{3}+24A^{2}+32A^{1}+15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4239ebba24b561f93acc0b197ceee0785cab3313)
Conclusie:
Hiermee is tevens bewezen dat:
.
is een geheel getal.
Is
deelbaar door
,
Inductiestap 1.
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {A^{p-1}-1}{p}}={\frac {2^{p-1}-1}{p}}={\frac {1}{p}}\sum _{k=1}^{p-1}\displaystyle {\tbinom {p-1}{k}}{(2-1)^{k}}={\frac {1}{p}}\sum _{k=1}^{p-1}\displaystyle {\tbinom {p-1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c403deb2413988cd9f45af59cd0ba6aee5e7e8)
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
![{\displaystyle {\binom {p-1}{k}}+{\binom {p-1}{k+1}}={\frac {(p-1)!(k+1+p-1-k)}{(p-(k+1))!(k+1)!}}={\binom {p}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73aec81ebf5505d2db816c56d464139392ab42f)
Voor
is de stelling waar.
Inductiestap 2.
We nemen de waarheid van de stelling aan.
is een geheel getal. Bij gevolg is
ook een geheel getal.
Inductiestap 3.
is een geheel getal en
is een geheel getal.
Dus is
ook een geheel getal.
De factor
is een geheel getal, dus is
deelbaar door
.
are whole numbers.
p is a prime number.
Here is the proof that
is divisible by
.
The following is worth mentioning..
is divisible by
.
Qud erat demonstrandum
Functions I used to check my findings in Excel.
Public Function Nbk(y As Integer, z As Integer) As Double
Nbk = Application.WorksheetFunction.Combin(y, z)
End Function
Public Function Nadine(A As Integer, p As Integer) As Double
Dim k As Integer
Dim q As Integer
q = A - p
For k = 0 To p - 1
Nadine = Nadine + Nbk(p - 1, k) * p ^ (p - 2 - k) * (q ^ k - (-p + 1) ^ k)
Next k
End Function
The numbers
are positive whole numbers.
Is
divisible by
?
For
we may write down
.
is a whole number.
Modulo rekenen met positieve c.q. negatieve getallen[bewerken | brontekst bewerken]
wil zeggen de hele waarde van
, de entier van
.
Als
dan:
Als
dan:
Twee rekenvoorbeelden.
Bewijs dat:
Inductiestap een:
Voor
is de bewering waar.
Inductiestap twee:
We nemen aan dat de bewering voor
waar is:
Dus:
Inductiestap drie:
We onderzoeken of de bewering voor
waar is.
De som van de binomiaalcoëfficiënten.
De bewering is waar voor
.
Dus de bewering
is dus waar.
QED.
Voor het genereren van Pythagorese drietallen zijn er een zestal formules.
Voor de even waarden
:
Vult men de waarde
in, dan vindt men
,
,
Voor de oneven waarden
:
Vult men de waarde
in, dan vindt men
,
,
is geen deler van
.
.
is een priemgetal.
Het onderstaande getallenvoorbeeld is gekozen om aan te tonen dat bij deling door een getal anders dan p=3
er een rest
en een rest
ontstaan. Deze resten zullen blijken ongelijk te zijn.
en
zijn ten opzichte van elkaar isomorf.
Als
niet deelbaar is door
dan ontstaat er een rest
.
is dan automatisch niet deelbaar door
en geeft dan als rest
.
Omdat
en
dan altijd ongelijk zijn geldt :
Dus
kan nooit als
Als
echter wel deelbaar is door
dan is de rest
Automatisch is
dan ook deelbaar door
, rest
.
In dat geval is:
Als
1)
2) Als:
Als
Als
dan kan
in dat geval nooit gelijk zijn aan
.
We hebben gevonden dat
, (zie 1) Dit kan alleen maar zo zijn als.
(zie 2)
Zowel
als
zijn dus deelbaar door
.
In een rechthoekige driehoek met een schuine zijde
geldt:
De hypotenusa
is:
geldt voor elke willekeurige hoek
.
Bovenstaande formule geldt voor willekeurige hoeken
en
.
Een getallenvoorbeeld:
Bovenstaande formule geldt voor willekeurige hoeken
en
.
Een getallenvoorbeeld:
Voor elke rechthoekige driehoek (hypotenusa c=1) geldt:
Bovenstaande formule geldt voor willekeurige hoeken
en
.
Een getallenvoorbeeld:
Bovenstaande formule geldt voor willekeurige hoeken
en
.
Een getallenvoorbeeld:
Uit nevenstaande afbeelding "lezen" we het volgende af: