Telmaat

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de telmaat een intuïtieve manier om een maat op te leggen aan een verzameling: de "grootte" van een eindige deelverzameling is het aantal elementen van deze deelverzameling. Van een oneindige deelverzameling is de telmaat ook oneindig.

Definitie

Laat $(\Omega ,\Sigma )$ een meetbare ruimte zijn met $\Sigma$ de sigma-algebra van alle deelverzamelingen van $\Omega$. De functie $\mu$ op deze meetbare ruimte, gedefinieerd door:

$\mu (A)={\begin{cases}|A|&{\mbox{voor eindige deelverzamelingen }}A\subset \Omega \\\\\infty &{\mbox{voor oneindige deelverzamelingen }}A\subset \Omega \\\end{cases}}$

heet de telmaat, en is een maat op $(\Omega ,\Sigma )$.

Daarbij is $|A|$ de kardinaliteit van $A$, dus voor eindige deelverzamelingen het aantal elementen.

De telmaat maakt het mogelijk veel uitspraken over $L^{p}$-ruimten, zoals de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, de ongelijkheid van Hölder of de ongelijkheid van Minkowski, om te zetten naar een meer bekende setting. Als $\Omega =\{1,\ldots ,n\}$ en $S=(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ de maatruimte is met telmaat $\mu$ op $\Omega$, dan is $L^{p}(S)$ gelijk aan $\mathbb {R} ^{n}$ (of $\mathbb {C} ^{n}$), met een norm gedefinieerd door

$\|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{1/p}$

voor $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$. Het delen van de telmaat $\mu$ door het aantal $n$ van elementen in $\Omega$ geeft de discrete uniforme verdeling.

Als $\Omega$ de verzameling van natuurlijke getallen is en $S$ de maatruimte met telmaat op $\Omega$, dan bestaat $L^{p}(S)$ uit de rijen $x=(x_{n})$ waarvoor geldt

$\|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{1/p}<\infty$

Deze zogenaamde Lp-ruimte wordt vaak geschreven als $\ell ^{p}$.

De telmaat op telbare verzamelingen is ook nuttig om stellingen uit Lebesgue-integratie theorie toe te passen op rijen. Voorbeelden zijn onder andere de monotone convergentiestelling, het lemma van Fatou, de gedomineerde convergentiestelling en de stelling van Fubini.