In de wiskunde is het Wallis-product, dat in 1655 werd geconstrueerd door John Wallis, een voorstelling van het getal
in de vorm van een oneindig product:
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\ldots ={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9adcfbeca304ef8d5e399bff6c4f6aede961dff)
Wallis leidde zijn product af zoals dat tegenwoordig in de analyse wordt gedaan, namelijk door de waarde van
te vergelijken voor even en oneven
, en door op te merken dat de waarde van de integraal bij grote
maar weinig verandert als
met 1 verhoogd wordt. Aangezien de infinitesimaalrekening zoals we die nu kennen, toen nog niet bestond en de inzichten uit de wiskundige analyse ontbraken om te kunnen spreken over convergentie, was dit resultaat voor Wallis een stuk lastiger te bewijzen; hij was er ook niet helemaal zeker over. Achteraf blijkt het Wallis-product een eenvoudig gevolg van de later ontdekte productformule voor de sinusfunctie.
Bewijs met Eulers oneindige productformule voor de sinusfunctie[1][bewerken | brontekst bewerken]
De productformule voor de sinus luidt:
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74dce42e79aff73ee96dbfb03216bd02fc23c68)
Met
volgt dan:
,
dus
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\&{}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3c1d217fe47df34b3ab6ace0af6f1558211ba7)
Definieer
![{\displaystyle I(n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe3c5ab84d651055b3fd2b72dd866fd759d796f)
Pas voor
partiële integratie toe, zodat
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(n)&=&\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-1}(x)\,\mathrm {d} (-\cos(x))\\&=&\left.-\cos(x)\sin ^{n-1}(x)\right|_{x=0}^{\pi }+\int _{0}^{\pi }\cos(x)\,\mathrm {d} (\sin ^{n-1}x)\\&=&0+(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(x)\cos ^{2}(x)\,\mathrm {d} x\\&=&(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(x)(1-\sin ^{2}(x))\,\mathrm {d} x\\&=&(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(x)\,\mathrm {d} x-(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}(x)\,\mathrm {d} x\\&=&(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b9c34d82663c0e0b553daeda3485f478ede025)
ofwel
![{\displaystyle I(n)={\frac {n-1}{n}}\cdot I(n-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f7a965f4c72b856399091562ad7c6172941bc7)
Herhaalde toepassing hiervan voor
levert
![{\displaystyle I(2k)={\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k-3}{2k-2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot I(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfda930cef0d159e21beacb117742a04181143d)
en voor
volgt
![{\displaystyle I(2k+1)={\frac {2k}{2k+1}}\cdot {\frac {2k-2}{2k-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot I(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cb7abce382646122d9419dfc4a681fe55deedb)
Samen geven deze twee vergelijkingen
![{\displaystyle {\frac {I(2k+1)}{I(2k)}}\cdot {\frac {I(0)}{I(1)}}={\frac {2k}{2k+1}}\cdot {\frac {2k}{2k-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad7737fc8554259c619f504de23464dabaa836d)
Er geldt
![{\displaystyle I(0)=\int _{0}^{\pi }\,\mathrm {d} x=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be6757e08433a51ec82e7581bde5e957814bb6d)
en
![{\displaystyle I(1)=\int _{0}^{\pi }\sin(x)\,\mathrm {d} x=-\cos(x){\Big |}_{x=0}^{\pi }=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94770d66f7533ced1fa1dd272e816444c688e2b)
Omdat
een dalende rij is, geldt
![{\displaystyle {\frac {2k}{2k+1}}={\frac {I(2k+1)}{I(2k-1)}}\leq {\frac {I(2k+1)}{I(2k)}}\leq {\frac {I(2k+1)}{I(2k+1)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7579fb6b60a734f07927a8fca9069646c5cab42f)
Als
gaat de linkerkant naar 1, dus wegens de insluitstelling volgt
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {I(2k+1)}{I(2k)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563dd7075389277eb726cef5b25f679f5ecfeda2)
De bovenstaande formule kan dus worden herschreven tot
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\lim _{k\to \infty }{\frac {I(2k+1)}{I(2k)}}{\frac {I(0)}{I(1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0355fd5dba4610befea6667c5237035ec325cd18)
De formule van Stirling voor
zegt dat
![{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc2bfa4f63a92d2fb77440553c09106f332c1ca)
als
. Bekijk nu de eindige benaderingen van het Wallis-product, door alleen de eerste
factoren te nemen:
![{\displaystyle p_{k}=\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21004f37cf6dd97a499aa9f2bce28fcea3bc99ec)
Dus kan
geschreven worden als
![{\displaystyle p_{k}={1 \over {2k+1}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)^{4}}{[(2n)(2n-1)]^{2}}}={1 \over {2k+1}}\cdot {{2^{4k}\,(k!)^{4}} \over {[(2k)!]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ba005cba5a7e0ce92d5396e1a0239dfcead61a)
Door middel van substitutie van de formule van Stirling in deze uitdrukking (voor zowel
als
) blijkt (na een korte berekening), dat
naar
convergeert als
.
De Riemann-zèta-functie en de Dirichlet-èta-functie zijn gedefinieerd als:
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\Re (s)>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d23ed32717afb13010d3f530e80e7e2b5a8a0d3)
![{\displaystyle \eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}},\Re (s)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4475a672c49fa9b898ba1a4258d321f3a6dbaaa)
Als we een eulertransformatie op de tweede reeks toepassen, krijgen we het volgende:
![{\displaystyle \eta (s)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4c32c1d8581b649adcae5c58e91c56920418bd)
![{\displaystyle \Rightarrow \eta '(s)=(1-2^{1-s})\zeta '(s)+2^{1-s}(\ln 2)\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bba2ee5029e5f47e4e90e2d99b7384f3c41182)
![{\displaystyle =-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {\ln n}{n^{s}}}-{\frac {\ln(n+1)}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771403711f013f009e427e147105902eb8a214b4)
![{\displaystyle \Rightarrow \eta '(0)=-\zeta '(0)-\ln 2=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[\ln n-\ln(n+1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919a2ae7cde886a9d19f514c9ad260de3493b42d)
![{\displaystyle =-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\ln {\frac {n}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ffedfb964a6ae66038818f9197a3455cf62b25)
![{\displaystyle =-{\tfrac {1}{2}}\left(\ln {\tfrac {1}{2}}-\ln {\tfrac {2}{3}}+\ln {\tfrac {3}{4}}-\ln {\tfrac {4}{5}}+\ln {\tfrac {5}{6}}-\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46795a609fd8bdd14b6fcc5ecd9a198a9c48eb0e)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left(\ln {\tfrac {2}{1}}+\ln {\tfrac {2}{3}}+\ln {\tfrac {4}{3}}+\ln {\tfrac {4}{5}}+\ln {\tfrac {6}{5}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb45e1ee4527f3eb4aa61aaef6af4281fb688795)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\tfrac {2}{1}}\cdot {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {4}{3}}\cdot {\tfrac {4}{5}}\cdot \ldots \right)={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2b1405b8d6acd3637ab65ebff05096ca0ed2ad)
![{\displaystyle \Rightarrow \zeta '(0)=-{\tfrac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca75d7f6f178cc504832e0d285cd1cc17de031a)