Gebruiker:Wikiklaas/Partiële getijden

In het artikel Getijde (waterbeweging) worden enkele partiële getijden genoemd. Daarvan spreken M₂ en S₂ voor zich maar van de rest wordt niet (goed) uitgelegd waar ze vandaan komen. Daar moet verbetering in komen maar zolang de tekst onder "werking" nog niet compleet is, vind ik het nog te vroeg om in het artikel zelf aan de partiële getijden te gaan werken. Daarom zet ik een opzet met de belangrijkste mathematische vergelijkingen vast hier neer. Commentaar op dit stuk of delen ervan is zeer welkom maar dan wel op de overlegpagina en graag ondertekend (met vier tildes: "~~~~").

Partiële getijden

Cosinus met amplitude 1 en een hoeksnelheid van 360º per dag, waarbij opgeteld twee cosinussen met amplitude 0,15, de een met een 36º grotere, de ander met een 36º kleinere hoeksnelheid. De resultante is een periodieke beweging met periodiek variërende amplitude die ook beschreven kan worden met $\scriptstyle \cos 360^{\circ }t\cdot (1+0.3\cos 36^{\circ }t)$.

Omdat van zowel de maan als de zon de afstand tot de aarde varieert, alsmede de declinatie, variëren ook de getijdenkrachten van deze twee lichamen periodiek en daarmee ook de amplitudes van het dubbeldaags maansgetij M₂ en het dubbeldaags zonsgetij S₂. Zo'n periodieke variatie kan wiskundig op twee manieren worden uitgedrukt: (1) door het hoofdgetij van maan of zon (dat een constante amplitude heeft) te vermenigvuldigen met een factor die zelf een periodieke functie is waarvan de periode gelijk is aan die van de variatie, of (2) door bij het hoofdgetij twee harmonische componenten (cosinussen) op te tellen, waarvan de ene een hoeksnelheid heeft die een bepaald bedrag (de modulatie) kleiner is dan die van het hoofdgetij en de andere een hoeksnelheid die dat zelfde bedrag groter is dan die van het hoofdgetij. De modulatie moet dan zo worden gekozen dat gedurende de periode van de variatie de beide toegevoegde harmonische componenten precies twee keer met elkaar in fase zijn en twee keer met elkaar in tegenfase. Dat laatste is het geval als de modulatie dezelfde waarde heeft als de hoeksnelheid van de variatie en dus, met andere woorden, dezelfde periode heeft als de variatie.

Met de vereenvoudiging dat de amplitude van hoofdcomponent $\cos \alpha t$ gelijkgesteld wordt aan 1, ziet dat er mathematisch zo uit:

methode (1):

$H(t)=\cos \alpha t\cdot (1+A\cos \beta t)\!$

methode (2):

$H(t)=\cos \alpha t+B\cos(\alpha t+\beta t)+B\cos(\alpha t-\beta t)\!$

waarin $H(t)\!$ de hoogte van het resulterende getij op tijdstip $t\!$ is, $\alpha \!$ de hoeksnelheid van de hoofdcomponent, $\beta \!$ de modulatie, en $A\!$ en $B\!$ willekeurige amplitudes.

Om nu aan te tonen dat met beide methoden exact hetzelfde effect bereikt wordt, moet bewezen worden dat vergelijking (1) mathematisch identiek is aan vergelijking (2). Het makkelijkst is om eerst uitdrukking (2) volledig uit te werken (met de rekenregels voor goniometrie) en daarna te vereenvoudigen:

$\cos \alpha t+B\cos(\alpha t+\beta t)+B\cos(\alpha t-\beta t)\ =\!$

$\cos \alpha t+B\cos \alpha t\cos \beta t-B\sin \alpha t\sin \beta t+B\cos \alpha t\cos \beta t+B\sin \alpha t\sin \beta t=\!$

( $-B\sin \alpha t\sin \beta t$ en $+B\sin \alpha t\sin \beta t$ vallen tegen elkaar weg):

$\cos \alpha t+2B\cos \alpha t\cos \beta t=\!$

$\cos \alpha t\cdot (1+2B\cos \beta t)\!$

Als $A=2B\!$, met andere woorden, als $B={\tfrac {1}{2}}A\!$, staat er inderdaad exact hetzelfde.

De reden dat veel gebruik wordt gemaakt van de tweede methode, waarbij men drie termen met constante amplitude gebruikt, in tegenstelling tot de ene term met variërende amplitude in de eerste methode, is dat men bij de harmonische analyse van het getij, met behulp van een Fourieranalyse, alleen componenten met een constante amplitude kan vinden en geen componenten met een periodiek variërende amplitude.

Hoofdgetijden

In feite zijn er maar twee getijden: het dubbeldaags maansgetij en het dubbeldaags zonsgetij. Deze hebben echter geen constante amplitude. Het M₂- en S₂-getij zijn de dubbeldaagse getijden met een, voor een bepaalde plek op aarde, constante amplitude die het gemiddelde is voor die plek. Alle andere partiële getijden zijn ofwel modulaties op de hoofdgetijden, ofwel hoger frequente golven die in ondiep water ontstaan.

M₂-getij

In een siderische maand van 27 dagen, 7 uur, 43 minuten en 11,6 seconden (27,3217 dag) volbrengt de middelbare maan een volledige omloop om de aarde, met een hoeksnelheid van 0,5490º/uur. De aarde draait rond haar as in een siderische dag van 23 uur, 56 minuten en 4,09 seconden, wat betekent dat ze een hoeksnelheid van 15,0411º/uur heeft. De middelbare maan beweegt zich ten opzichte van een punt op de aarde dus met een hoeksnelheid van 14,4921º/uur, het verschil tussen de twee vermelde hoeksnelheden. De hoeksnelheid van het dubbeldaags maansgetij M₂ is tweemaal zo groot: 28,9841º/uur, wat overeenkomt met een periode van 12 uur en 25,2 minuten. Hoog- en laagwater van dit getij vallen daardoor elke dag gemiddeld 50,4 minuten later dan de dag ervoor.

S₂-getij

In een siderisch jaar van 365 dagen, 6 uur, 9 minuten en 9,76 seconden, volbrengt de aarde een volledige omloop om de zon, met een hoeksnelheid van 0,0411º/uur. De hoeksnelheid van de siderische rotatie van de aarde is 15,0411º/uur. Een punt op aarde heeft dus ten opzichte van de middelbare zon een hoeksnelheid van precies 15º/uur. De hoeksnelheid van het dubbeldaags zonsgetij S₂ is het dubbele: 30º/uur, wat overeenkomt met een periode van 12 uur. Hoog- en laagwater van dit getij vallen daarom elke dag op hetzelfde moment.

Omdat de getijdenkracht van de maan gemiddeld 2,2 keer zo groot is als die van de zon, is de amplitude van het S₂-getij theoretisch gemiddeld 0,45 keer die van de maan. In de praktijk kan die verhouding heel anders zijn.

Elliptische getijden

De amplitude van het dubbeldaags maansgetij M₂ varieert met de afstand van de maan tot de aarde. De periode van die variatie is één anomalistische maand, met een hoeksnelheid van 0,5444º/uur. Volgens de tweede wet van Kepler is de snelheid van een hemellichaam in een elliptische baan variabel. De variatie in de snelheid van de maan heeft eveneens de periode van één anomalistische maand. Deze beide variaties worden samen verwerkt door bij M₂ een component L₂, met een hoeksnelheid van 28,9841 + 0,5444 = 29,5285º/uur, en een component N₂, met een hoeksnelheid van 28,9841 - 0,5444 = 28,4398º/uur, op te tellen. L₂ en N₂ worden samen het dubbeldaags elliptisch maansgetij genoemd. Daarbij wordt L₂ het klein dubbeldaags elliptisch maansgetij genoemd omdat het een kortere periode heeft dan M₂, en N₂ het groot dubbeldaags elliptisch maansgetij omdat de periode ervan langer is. Op dezelfde manier worden bij het zonsgetij S₂ de componenten R₂ en T₂, die allebei 0,0411º/uur met S₂ verschillen en samen het dubbeldaags elliptisch zonsgetij worden genoemd, opgeteld om de variatie in amplitude per anomalistisch jaar te verwerken. De letters 'M' en 'S' staan uiteraard voor 'Moon' en 'Sun'; de leters 'L', 'N', 'R' en 'T' staan nergens voor: het zijn gewoon de letters die om 'M' en 'S' heen staan.

Declinatiegetijden

De declinatie van de maan en de zon is hoek die deze hemellichamen maken met het vlak van de evenaar. De zon staat twee keer per tropisch jaar boven de evenaar, tijdens de dag- en nachteveningen van 21 maart en 21 september. De declinatie is dan nul. Tijdens de zonnewendes van 21 juni en 21 december is de declinatie 23,5º. De declinatie van de maan is twee keer per tropische maand nul, als de maan de evenaar passeert. Het baanvlak van de maan maakt een hoek van 5º met de ecliptica. De maximale declinatie van de maan varieert met de positie van de maansknopen. Als de klimmende knoop samenvalt met het lentepunt (de klimmende knoop van de zon), dan is de maximale declinatie 28,5º. Als de klimmende knoop 9,3 jaar later samenvalt met het herfstpunt (de dalende knoop van de zon), is de maximale declinatie van de maan 18,5º. De maan bereikt per tropische maand eenmaal haar grootste noordelijke declinatie en eenmaal haar grootste zuidelijke declinatie.

Amplitude

Met de declinatie van de maan varieert ook de amplitude van het dubbeldaags maansgetij. Hoe verder de maan boven of onder de evenaar staat, hoe kleiner de amplitude (bedenk dat er helemaal geen maansgetij zou zijn als de maan boven een van de polen zou staan). Deze variatie in de amplitude van het getij wordt op dezelfde manier verwerkt als hierboven al is geschetst, onder 'partiële getijden' en 'elliptische getijden'. De periode van deze variatie is een halve tropische maand, en de hoeksnelheid 1,0980º/uur. Naast M₂ vinden we daarom een component met een hoeksnelheid van 28,9841 + 1,0980 = 30,0821º/uur (K₂) en één met een hoeksnelheid van 28,9841 - 1,0980 = 27,8861º/uur (O₂). Het zonsgetij varieert op dezelfde manier, met een periode van een half tropisch jaar, met een hoeksnelheid van 0,0821º/uur. Naast S₂ vinden we daarom een component met een hoeksnelheid van 30,0821º/uur (K₂) en één met een hoeksnelheid van 29,9179º/uur. K₂ van het maansgetij en die van het zonsgetij hebben beide dezelfde hoeksnelheid. Twee harmonische krommen met dezelfde hoeksnelheid maar niet noodzakelijk dezelfde fase, leveren, bij elkaar opgeteld, weer een harmonische kromme op, met dezelfde hoeksnelheid. De beide componenten K₂ kunnen met een Fourieranalyse niet afzonderlijk onderscheiden worden, en worden daarom samen het dubbeldaags zons- en maansdeclinatiegetij K₂ genoemd.

De hoeksnelheid van O₂ is gelijk aan die van enkele andere, samengestelde, componenten. O₂ vinden we in tabellen met partiële getijden daarom zelden terug. Wèl wordt meestal de samengestelde component NLK₂ vermeld, met dezelfde hoeksnelheid. Voor de tweede component van het dubbeldaags zonsdeclinatiegetij ligt de naam U₂ voor de hand. Die vinden we echter nergens. Wèl wordt vaak een samengestelde component met dezelfde hoeksnelheid vermeld: 2SK₂. Omdat componenten met dezelfde hoeksnelheid bij een Fourieranalyse niet van elkaar onderscheiden kunnen worden, maakt het niet veel uit welk van de namen er wordt gekozen.

Dagelijkse ongelijkheid

De declinatie van de maan is ook de oorzaak van de dagelijkse ongelijkheid, waarbij periodiek het ene hoogwater op een dag verhoogd is en het andere verlaagd. De dagelijkse ongelijkheid is nul als de maan boven de evenaar staat, en maximaal als de maan de maximale noordelijke of zuidelijke declinatie bereikt. De dagelijkse ongelijkheid heeft één cyclus per maansdag (het ene hoogwater verhoogd, het andere verlaagd). Om deze variatie met harmonische componenten uit te drukken, worden daarom aan het enkeldaags maansgetij M₁ (hoeksnelheid 14,4921º/uur, de helft van M₂) twee enkeldaagse partiële getijden toegevoegd die met elkaar in tegenfase zijn als de declinatie nul is, en in fase als de declinatie maximaal is. De periode van deze variatie is een tropische maand, en de hoeksnelheid 0,5490º/uur. We vinden dan een component met een hoeksnelheid van 14,4921 + 0,5490 = 15,0411º/uur (K₁) en één met een hoeksnelheid van 14,4921 - 0,5490 = 13,9430º/uur (O₁). Ook het zonsgetij kent een dagelijkse ongelijkheid als gevolg van de declinatie van de zon. De variatie heeft hier een periode van een tropisch jaar, met een hoeksnelheid van 0,0411º/uur, en we vinden een component met een hoeksnelheid van 15,0 + 0,0411 = 15,0411º/uur (K₁) en één met een hoeksnelheid van 15,0 - 0,0411 = 14,9589º/uur (P₁). K₁ van het maansgetij en die van het zonsgetij hebben beide dezelfde hoeksnelheid en kunnen daarom bij een Fourieranalysen niet van elkaar worden onderscheiden. Ze worden om die reden samen het enkeldaags zons- en maansdeclinatiegetij K₁ genoemd

Evectiegetijden

De positie van de werkelijke maan wijkt in meerdere of mindere mate af van die van de middelbare maan. De afwijking als gevolg van de elliptische baan is hierboven al genoemd. De twee belangrijkste andere storingen zijn de evectie en de hierna nog te behandelen variatie, beide veroorzaakt door de gravitatie van de zon. De evectie is afhankelijk van de excentriciteit van de baan van de maan. Wanneer de zon in lijn staat met de apsidenlijn van de maanbaan (de lijn die door het perigeum en apogeum gaat), is de baan meer langgerekt en de excentriciteit het grootst. Wanneer de zon haaks op die lijn staat, is de baan meer gedrongen en de excentriciteit kleiner. Wanneer de excentriciteit van de baan groot is, ligt het perigeum dichter bij de aarde en is het apogeum verder weg, zodat de variatie in de afstand van de maan dan groter is. Deze variatie heeft uiteraard effect op de amplitude van het getij. De baansnelheid van de maan is, volgens de tweede wet van Kepler, afhankelijk van de afstand tussen aarde en maan, hetgeen verklaart waarom de excentriciteit van de baan een effect heeft op de evectie. Ook het voor- of achterlopen van de maan op de positie van de middelbare maan heeft een effect op het M₂-getij, dat immers de regelmatig bewegende middelbare maan volgt. De evectionele periode, met andere woorden een volledige rotatie van de apsidenlijn ten opzichte van de zon, duurt 411,78 dagen. In die periode is de excentriciteit twee keer maximaal en twee keer minimaal omdat de zon tijdens een volledige omloop van de apsidenlijn twee keer in het verlengde daarvan staat, dus eens in de 205,89 dagen.

Ten opzichte van de zon draait de maan om de aarde met een periode van een synodische maand, met een hoeksnelheid van 0,5079º/uur. De rotatie van de apsidenlijn ten opzichte van de zon heeft een hoeksnelheid van 0,0364º/uur. Het verschil is 0,4715º/uur. De evectie van de maan varieert dus met een periode van 360º/(24 × 0,4715) = 31,8119 dagen. De modulaties op het M₂ getij zijn λ₂ (labda), met een hoeksnelheid van 28,9841 + 0,4715 = 29,4556 en ν₂ (nu), met een hoeksnelheid van 28,9841 - 0,4715 = 28,5126º/uur. Daarnaast zijn er nog de enkeldaagse modulaties ρ₁ (rho), met een periode van 14,4921 - 1,0205 = 13,4715º/uur, en θ₁ (theta), met een periode van 14,4921 + 1,0205 = 15,5126º/uur.

Variatiegetijden

Nog een afwijking in de beweging van de maan is de variatie, beschreven door Tycho Brahe na de maansverduistering van december 1590. Daarbij beweegt de maan sneller dan gemiddeld wanneer ze naar nieuwe- en volle maan gaat, en langzamer wanneer ze naar de kwartierstanden gaat. Ook dit is het gevolg van de gravitatie van de zon. De periode van deze variatie is een halve synodische maand, met een hoeksnelheid van 1,0159º/uur. De partiële getijden zijn μ₂ (mu), met een hoeksnelheid van 28,9841 - 1,0159 = 27,9682º/uur, en een tweede component waarvan de hoeksnelheid exact gelijk is aan die van het S₂-getij, en daarom geen naam heeft.

Ondiepwatergetijden

De som van een cosines met een periode van 12 uur, en een cosinus met een periode van precies de helft, is een asymmetrische kromme.

Voorbeeld van een asymmetrische getijcurve, veroorzaakt door ondiepwatergetijden: IJmuiden, 21 januari 2012 (bron: Rijkswaterstaat)

Wanneer de getijgolf terechtkomt in ondiep water, zoals de Noordzee, kan ze zich bij hoogwater sneller voortplanten dan bij laag (zie: voortplantingssnelheid van oppervlaktegolven). Dit is te vergelijken met de zeedeining die een strand nadert. De golf verandert van vorm: één kant wordt steiler, de andere minder steil. De partiële getijden die hierdoor met een Fourieranalyse worden gevonden zijn niet te verklaren uit de beweging of afstand van maan of zon. Wèl hebben ze hoeksnelheden die een geheel veelvoud zijn van één van die astronomische componenten. Naast M₂ vinden we bijvoorbeeld M₄, M₆, M₈ en eventueel nog hogere harmonische boventonen; naast S₂ vinden we S₄, S₆, enzovoorts. Daarnaast vinden we samengestelde componenten, met een periode die samengesteld gedacht kan worden uit de periodes van enkeldaagse en (hoofdzakelijk) dubbeldaagse componenten. De meeste hebben daarom een naam gekregen die een combinatie is van de namen van die samenstellende getijden, waarbij het subscript (soms ook wel als normaal cijfer weergegeven) altijd het aantal periodes per dag aangeeft. Zo is 2MN₆ = 2 × M₂ + N₂. 4MN₆ is niet = 4 × M₂ + N₂, omdat dat 10 periodes per dag oplevert, wat niet klopt met het subscript 6, maar het is 4 × M₂ - N₂, wat inderdaad 6 periodes per dag oplevert. Een ander voorbeeld: 3M2S₂ = 3 × M₂ - 2 × S₂.

Doodsons codering van de partiële getijden

De amplitude en de timing van het getij worden bepaald door de relatieve bewegingen van zon en maan ten opzichte van de aarde. Deze bewegingen zijn met slechts een handvol parameters te beschrijven. De Britse oceanograaf Arthur Thomas Doodson (1890-1968) maakte hiervan gebruik door de partiële getijden te coderen aan de hand van 6 parameters.

De door Doodson gekozen parameters zijn:

• T = middelbare maanstijd; functie van de aardrotatie ten opzichte van de maan, hoeksnelheid 14,4920521º/uur
• s = middelbare lengte van de maan; functie van de siderische omloop van de maan om de aarde, hoeksnelheid 0,5490165º/uur
• h = middelbare lengte van de zon; functie van de siderische omloop van de aarde om de zon, hoeksnelheid 0,0410686º/uur
• p = lengte van het perigeum; functie van de siderische rotatie van de apsidenlijn van de maan, hoeksnelheid 0,0046418º/uur
• N = lengte van de klimmende maansknoop; functie van de siderische omloop van de maansknoop over de ecliptica, hoeksnelheid −0,0022064º/uur
• p_s = lengte van het perihelium; functie van de siderische rotatie van de apsidenlijn van de baan van de aarde, hoeksnelheid 0,00000196º/uur

Alle andere fenomenen kunnen uit deze parameters worden afgeleid. Zo is T + s - h = 15º/uur, de rotatiesnelheid van de aarde ten opzichte van de zon, en 360º/24(s - h) = 29,53 dagen, de lengte van de synodische maand.

Ook van elk partieel getijde is uit te drukken hoe dat is samengesteld uit de 6 primaire parameters. Doodson gebruikte dit om een eenvoudige en overzichtelijke code aan elk partieel getijde toe te kennen. Zo is de hoeksnelheid van M₂ uit te drukken als 2 × T en 0 × alle andere parameters: 2,0,0,0,0,0. Component ν₂ is uit te drukken als 2 × T, -1 × s, 2 × h, -1 × p en 0 × de parameters N en p_s: 2,-1,2,-1,0,0. Deze codering staat bekend als de Doodson coëfficiënten.

Beknopt overzicht van enkele partiële getijden

In de onderstaande tabel zijn de in de tekst genoemde partiële getijden te vinden. Van elke component zijn de hoeksnelheid, de periode en de Doodson-coëfficiënten opgenomen. Niet vermeld is de amplitude omdat die van plek tot plek sterk verschilt. Het belang van de genoemde componenten voor het getij kan dus niet uit de tabel worden opgemaakt.

Kenletter	Hoeksnelheid (º/uur)	Periode	Doodson coëfficiënten						Benaming
			T	s	h	p	N	ps
M2	28,9841	12 uur 25 minuten	2	0	0	0	0	0	dubbeldaags maansgetij
S2	30	12 uur	2	2	-2	0	0	0	dubbeldaags zonsgetij
Mm	0,5444	27 dagen 13 uur 19 minuten	0	1	0	-1	0	0	maandelijks maansgetij
ρ1 (rho)	13,4715	26 uur 43 minuten	1	-2	2	-1	0	0	groot enkeldaags evectiegetij
O1	13,9430	25 uur 49 minuten	1	-1	0	0	0	0	enkeldaags maansdeclinatiegetij
P1	14,9589	24 uur 4 minuten	1	1	-2	0	0	0	enkeldaags zonsdeclinatiegetij
K1	15,0411	23 uur 56 minuten	1	1	0	0	0	0	enkeldaags zons- en maansdeclinatiegetij
θ1 (theta)	15,5126	23 uur 12 minuten	1	2	-2	1	0	0	klein enkeldaags evectiegetij
O2	27,8861	12 uur 55 minuten	2	-2	0	0	0	0	groot dubbeldaags maansdeclinatiegetij
μ2 (mu)	27,9682	12 uur 52 minuten	2	-2	2	0	0	0	groot dubbeldaags maansvariatiegetij
N2	28,4397	12 uur 40 minuten	2	-1	0	1	0	0	groot dubbeldaags maanselliptisch getij
ν2 (nu)	28,5126	12 uur 38 minuten	2	-1	2	-1	0	0	groot dubbeldaags evectiegetij
λ2 (labda)	29,4556	12 uur 13 minuten	2	1	-2	1	0	0	klein dubbeldaags evectiegetij
L2	29,5285	12 uur 11 minuten	2	1	0	-1	0	0	klein dubbeldaags maanselliptisch getij
T2	29,9589	12 uur 1 minuut	2	2	-3	0	0	0	groot dubbeldaags zonselliptisch getij
R2	30,0411	11 uur 59 minuten	2	2	-1	0	0	0	klein dubbeldaags zonselliptisch getij
K2	30,0821	11 uur 58 minuten	2	2	0	0	0	0	dubbeldaags zons- en maansdeclinatiegetij
3M2S2	26,9523	13 uur 21 minuten	2	-4	4	0	0	0	3 × M2 - 2 × S2
NLK2	27,8861	12 uur 55 minuten	2	-2	0	0	0	0	N2 + L2 - K2
2SK2	29,9179	12 uur 2 minuten	2	2	-4	0	0	0	2 × S2 - K2
M4	57,9682	6 uur 13 minuten	4	0	0	0	0	0	2 × M2
S4	60	6 uur	4	4	-4	0	0	0	2 × S2
2MN6	86,4079	4 uur 10 minuten	6	-1	0	1	0	0	2 × M2 + N2
4MN6	87,4967	4 uur 7 minuten	6	1	0	-1	0	0	4 × M2 - N2

Zie ook

• Geschiedenis van de getijdentheorie
• Springtij en doodtij