Lemma van Nakayama

Het lemma van Nakayama is een stelling uit de commutatieve algebra, een deelgebied van de wiskunde. Ze legt beperkende voorwaarden op aan eindig voortgebrachte modulen die door vermenigvuldiging met een ideaal niet wezenlijk verkleind worden.

Het lemma is genoemd naar zijn auteur Tadashi Nakayama. Volgens Hideyuki Matsumura schreef Nakayama zelf de stelling evenwel toe aan Wolfgang Krull en Goro Azumaya.

Formuleringen

In de verschillende formuleringen hieronder is $A$ een commutatieve ring met eenheidselement, $I$ een ideaal van $A,$ en $M$ een eindig voortgebracht $A$-moduul. Dat laatste wil zeggen dat er elementen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ van $M$ bestaan met de eigenschap dat

$M=Ax_{1}+\ldots +Ax_{n}$

Determinantformulering

Zij $f$ een moduul-endomorfisme ($A$-lineaire transformatie) van $M$ waarvan het beeld binnen $IM$ ligt. Dan voldoet $f$ aan een relatie van de vorm

$f^{n}+a_{1}f^{n-1}+\ldots +a_{n-1}f+a_{n}=0,\ a_{i}\in I$

Deze vorm van het lemma kan rechtstreeks worden bewezen met een variant van de Stelling van Cayley-Hamilton.

Formulering met algemeen ideaal

Veronderstel dat $IM=M$, dan bestaat er een element $a$ van $A$ dat congruent is met 1 modulo $I,$ en dat $M$ annihileert, dat wil zeggen $aM=0.$

Formulering met Jacobson-radicaal

Veronderstel dat $IM=M$ en dat $I$ bevat is in het Jacobson-radicaal (de doorsnede van alle maximale idealen) van $A.$ Dan is $M=0.$

Formulering met deelmoduul

Als $N$ een deelmoduul is van $M$ met de eigenschap dat $M=N+IM,$ en $I$ is een deel van het Jacobson-radicaal van $A,$ dan is $M=N.$

Toepassing

Uit de ideaalformulering volgt tamelijk rechtstreeks de volgende generalisatie van een bekend resultaat uit de lineaire algebra:

Een surjectief endomorfisme van een eindig voortgebracht $A$-moduul is ook injectief (en dus een automorfisme).

Bewijs

Zij $f$ de gegeven surjectieve $A$-lineaire transformatie van $M$ en vat $M$ op als moduul over de veeltermring $A[X]$ met de afspraak dat voor ieder gegeven element $m$ van $M,$ $X\cdot m=f(m).$ Zij $I$ het ideaal van $A[X]$ dat wordt voortgebracht door het element $X.$ Dan is $IM=M$ (surjectiviteit van $f$) en dus bestaat er wegens Nakayama een element $a$ van $A[X]$ dat congruent is met 1 modulo $I$ en dat $M$ annihileert:

$aM=0;\ a-1\in X\cdot A[X]$

Schrijf $a-1$ als $X\cdot Y.$ Dan is de kern van $f$ triviaal. Zij namelijk $u$ een element van die kern, dan is

$0=a\cdot u=(1+X\cdot Y)\cdot u=u+Y\cdot f(u)=u+0=u$

Dus de kern van $f$ bevat alleen 0.

Bronnen

• (en) Michael Atiyah & Ian G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969. ISBN 978-0-201-40751-8.
• (en) Hideyuki Matsumura, vertaald door Miles Reid, Commutative Ring Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8),Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989. ISBN 978-0-521-36764-6.