Norm (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Aan wiskundige objecten kan soms een eigenschap norm worden toegekend die veel overeenkomst vertoont met het dagelijkse begrip grootte. Bepaalde basiseigenschappen van 'grootte' worden gebruikt om het begrip norm te definiëren.

Definitie[bewerken]

De norm \|v\| van een vector v is een reëel of complex getal met de volgende eigenschappen:

0. De norm is niet negatief.

\|v\| \geq 0.

1. Alleen de nulvector heeft norm 0.

\|v\| = 0 \iff v=0

2. De norm van het scalaire veelvoud van een vector is het product van de norm met de absolute waarde van de scalair:

\|\alpha v\| = |\alpha|\cdot \|v\|\,
Voor reële vectorruimten betekent dit dat de normfunctie positief homogeen is van de eerste graad.

3. (Driehoeksongelijkheid) De norm van de som van twee vectoren is niet groter dan de som van de afzonderlijke normen.

\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|

Dit zijn niet de minimale eisen voor een norm. Uit voorwaarde 2 volgt dat \|\mathbf{0}\| = \|0\cdot\mathbf{0}\| = |0|\cdot\|\mathbf{0}\| = 0, dus kan voorwaarde 1 scherper worden geformuleerd: \|v\| = 0 \implies v=0. Als bovendien aan voorwaarde 2 en 3 is voldaan, volgt reeds dat aan voorwaarde 0 is voldaan:

0 = \textstyle\frac{1}{2}\|0\| = \textstyle\frac{1}{2} \|v-v\| \le \textstyle\frac{1}{2} (\|v\| + |-1|\cdot\|v\|) = \|v\|.

Een vectorruimte die met een dergelijke functie \|\cdot\| is uitgerust, wordt een genormeerde vectorruimte genoemd. Bij een genormeerde vectorruimte is op natuurlijke wijze een afstandsfunctie of metriek realiseerbaar, en wel door de afstand d(v,w) tussen twee vectoren v en w te definiëren als de norm van de verschilvector:

d(v,w) = \|v-w\|.

Als de aldus ontstane metrische ruimte volledig is, spreken we van een Banachruimte.

Voorbeelden[bewerken]

De supremumnorm in het tweedimensionale reële vlak. De "sfeer" van alle vectoren met gegeven positieve norm vormt een vierkant.
  • Op de vectorruimte \mathbb{R}^n of \mathbb{C}^n is de volgende functie een norm, Euclidische norm geheten:
\|(x_1,x_2,...,x_n)\| = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + ... + |x_n|^2}
  • Algemener is voor ieder reëel getal p \ge 1 de volgende functie een norm (men verkrijgt de Euclidische norm voor p = 2):
\|(x_1,x_2,...,x_n)\|_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ... + |x_n|^p)^{1/p}
\|(x_1,x_2,...,x_n)\|_\infty = \max(|x_1|, |x_2|,...,|x_n|)
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}
De Euclidische norm wordt dus geïnduceerd door het standaard inwendige product op \mathbb{R}^n:
\langle x,y\rangle=x_1y_1+\ldots+x_ny_n
of op \mathbb{C}^n:
\langle x,y\rangle=x_1\overline y_1+\ldots+x_n\overline y_n
  • Voor complexe nxn-matrices definieert men de volgende Frobenius norm:
\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{tr}(A^{{}^*} A)}
met A* de complex toegevoegde van A.

Seminorm[bewerken]

Een functie die aan voorwaarden 0, 2 en 3 uit de definitie voldoet, maar niet noodzakelijk aan voorwaarde 1, noemt men een seminorm. Het procedé waarmee een genormeerde ruimte tot een metrische ruimte wordt, maakt van een semigenormeerde ruimte een pseudometrische ruimte (pseudometriek). De vectoren waarvan de seminorm 0 bedraagt, vormen in dat geval een lineaire deelruimte, die gesloten is in de met de pseudometriek geassocieerde topologie. Op de quotiëntruimte wordt dan een normfunctie gedefinieerd door met iedere nevenklasse de pseudonorm van eender welke vertegenwoordiger te associëren. De topologie van deze normfunctie is dezelfde als de quotiënttopologie voor de equivalentierelatie "heeft afstand 0 tot".

Norm van een lineaire afbeelding[bewerken]

Als f een lineaire afbeelding is tussen twee genormeerde ruimten V en W over hetzelfde scalairenlichaam, dan definieert men de norm van f als de kleinste bovengrens van de vergrotingen die eenheidsvectoren ondergaan:

\|f\|=\sup\{\|f(x)\|_W;x\in V,\|x\|_V=1\}

Deze norm blijkt eindig te zijn als en slechts als f continu is ten opzichte van de respectievelijke topologieën van V en W.

De verzameling van alle continue lineaire afbeeldingen tussen V en W

\mathcal{B}(V,W)=\{f:V\to W, f\,\hbox{continu lineair}\}

is opnieuw een genormeerde vectorruimte over hetzelfde lichaam.

Zie ook[bewerken]