Optimalisatie

Optimaliseren of optimalisatie is het proces om de beste oplossing voor een probleem te vinden. Voor sommige optimalisatieproblemen bestaan algoritmen. Deze leiden niet altijd tot een optimale oplossing, maar worden ook wel eens toegepast om de optimale oplossing te benaderen.

Om op systematische wijze de optimale oplossing te vinden, zijn de volgende ingrediënten nodig:

1. Een duidelijke beschrijving van het probleem (een model)
2. Een criterium, dat kan worden gemaximaliseerd (of geminimaliseerd)
3. Instelbare variabelen (de parameters) van het model die de waarde van het criterium beïnvloeden
4. Vaak zijn er ook nog randvoorwaarden waardoor het optimum op de rand van de oplossingsruimte komt te liggen.

De optimale oplossing bestaat uit de verzameling parameters die gegeven het model en de randvoorwaarden het criterium minimaliseren (bijvoorbeeld minimale kosten) of maximaliseren (bijvoorbeeld maximale opbrengst of kwaliteit).

Voor technische problemen is het vaak mogelijk om uitgaande van een goed model en een goed gekozen criterium de optimale oplossing te vinden. Dit kan met behulp van een optimalisatiealgoritme. Als het probleem complex is, kan het zijn dat een lokaal optimum wordt gevonden. In de directe omgeving van zo'n suboptimale oplossing is er niets beters te vinden. Het is dan nodig om een grote stap te maken in de oplossingsruimte te maken om het echte optimum (of eventueel een ander suboptimum) te vinden.

Het vinden van een criterium dat echt goed beschrijft wat goed is, is niet altijd eenvoudig. Een verkeerd gekozen criterium leidt ook tot een optimale oplossing. Als het resultaat desondanks teleurstelt, komt dat omdat er kennelijk nog een ander, niet helder geformuleerd criterium is. Het is onjuist om dit kader te spreken van de meest optimale oplossing of van een optimalere oplossing. Een oplossing die het criterium minimaliseert is altijd optimaal, een ander criterium leidt tot een andere optimale oplossing.

Optimaliseren in de regeltechniek

Optimaliseren is een effectieve manier om een regelsysteem (zie Regeltechniek) in te stellen. Een lineair regelsysteem kan worden beschreven als:

$\dot{x} = Ax + Bu$

Waarbij $x$ de n-dimensionale toestand van het systeem is, $u$ ($m$-dimensionaal) is het ingangssignaal, $A$ is de $nxn$ systeemmatrix en $B$ is de $nxm$ ingangsmatrix. Dit systeem kan worden voorzien van een toestandsterugkoppeling

$u=-Kx$

De optimale terugkoppeling $K$ ($mxn$) is te vinden door minimaliseren van het kwadratische criterium

$J= \int_0^\infty{(x ^ {T} Q x + u ^ {T} R u)} dt$

Hierbij zijn $Q$ en $R$ matrices met weegfactoren die aangeven hoe zwaar de verschillende componenten van $x$ en $u$ moeten worden afgestraft. De optimale oplossing wordt gevonden met behulp van de matrix Ricatti-vergelijkingen luidt:

$K=-BPR^{-1} \!$

waarbij $K$ de oplossing is van de gereduceerde Ricatti-vergelijking

$A^TP+PA+Q-PBR^{-1}B^TP=0 \!$

Optimalisatie in de wiskunde en economie

In de wiskunde worden al langer optimalisatieproblemen bestudeerd. Een bekend voorbeeld is de techniek van Lagrange-multiplicatoren. Deze laat toe een bepaalde functie te maximaliseren, gegeven dat aan een aantal eisen voldaan is. Deze rekentechniek is ook erg nuttig in de economie, denk bijvoorbeeld aan een situatie waarin men het nut van een bepaald product wil maximaliseren, gegeven dat men over een welbepaald budget beschikt. Het gebruik van Lagrange-multiplicatoren laat ook toe op eenvoudige wijze te zien hoe het bekomen nut verandert als men het budget aanpast.

Zie ook

• Regeltechniek
• Lagrange-multiplicator