Ömür speelde in de jeugdopleiding van Trabzonspor, die hij volledig doorliep. Hij maakte zijn debuut in het eerste elftal op 12 januari 2016, op bezoek bij Adanaspor in het bekertoernooi. Yusuf Erdoğan scoorde tweemaal voor Trabzonspor en ook Soner Aydoğdu en Deniz Yılmaz kwamen tot scoren. Door een tegentreffer van Ahmet Dereli werd het uiteindelijk 1–4. Ömür begon als wisselspeler aan de wedstrijd en hij mocht van coach Sadi Tekelioğlu in de vijfenzestigste minuut invallen voor Aydoğdu.[1] Op 22 december 2016 speelde Trabzonspor thuis tegen Kızılcabölükspor en Ömür scoorde nadat teamgenoten Mustafa Yumlu en Güray Vural ook al doel getroffen hadden. Door twee doelpunten van Yusuf Yazıcı won Trabzonspor uiteindelijk met 5–0.[2] In oktober 2022 werd zijn verbintenis opengebroken en met drie seizoenen verlengd tot medio 2027.[3] Ömür werd begin 2024 vanwege disciplinaire redenen uit de selectie gezet van Trabzonspor, waarna hij op zoek ging naar een nieuwe club.[4]
In januari 2024 werd Ömür voor een bedrag van circa tweeënhalf miljoen euro de overstap naar Hull City, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van drieënhalf jaar, met een optie op een jaar extra.[5]