Yılmaz speelde vanaf zijn achtste levensjaar in de jeugdopleiding van Beşiktaş.[1] Bij deze club maakte hij zijn debuut in het seizoen 2018/19, toen hij op 8 april 2019 voor het eerst mocht meespelen, op bezoek bij Çaykur Rizespor. Namens die club scoorden Vedat Muriqi en Mohamed Abarhoun, maar door doelpunten van Domagoj Vida, Adem Ljajić (tweemaal), Burak Yılmaz en Güven Yalçın (driemaal) won Beşiktaş het duel met 2–7. Yılmaz moest van coach Şenol Güneş als reservespeler aan de wedstrijd beginnen en hij viel twee minuten voor tijd in voor Ljajić.[2] Zijn eerste doelpunt maakte Yılmaz op 1 mei 2021, in het eigen Vodafone Park tegen Hatayspor. Na een eigen doelpunt van Babajide David, twee treffers van Cyle Larin en eentje van Georges-Kévin N'Koudou zorgde de linksback op aangeven van Valentin Rosier voor de vijfde treffer. Doordat Larin nog tweemaal tot scoren kwam, won Beşiktaş het duel met 7–0.[3] In het seizoen 2020/21 won Yılmaz zijn eerste prijzen. Dat seizoen werd Beşiktaş zowel landskampioen als bekerwinnaar.
In juli 2022 tekende hij een vijfjarig contract bij de Schotse club Rangers, dat circa vijf miljoen euro voor hem betaalde.[4]
Yılmaz maakte zijn debuut in het Turks voetbalelftal op 27 mei 2021, toen een vriendschappelijke wedstrijd gespeeld werd tegen Azerbeidzjan. Emin Mahmudov opende de score namens de Azerbeidzjanen. Turkije won het duel alsnog met 2–1 door doelpunten van Kaan Ayhan en Halil Dervişoğlu (eveneens Galatasaray), die net als Altay Bayındır (Fenerbahçe), Gökhan Akkan (Çaykur Rizespor) en Kerem Aktürkoğlu (Galatasaray) ook zijn debuut maakte in deze wedstrijd. Yılmaz mocht van bondscoach Şenol Güneş in de basisopstelling beginnen en hij werd in de rust gewisseld ten faveure van Efecan Karaca.[6] Yılmaz werd in juni 2021 door Güneş opgeroepen voor de Turkse selectie op het uitgestelde EK 2020.[7] Op het toernooi werd Turkije uitgeschakeld in de groepsfase, na nederlagen tegen Italië (0–3), Wales (0–2) en Zwitserland (3–1). Yılmaz kwam niet in actie. Zijn toenmalige teamgenoten Dorukhan Toköz (eveneens Turkije) en Domagoj Vida (Kroatië) waren ook actief op het EK.