Errorfunctie

De errorfunctie is een speciale functie in de wiskunde, die belangrijke toepassingen heeft binnen de kansrekening en de natuurkunde. De functie is gedefinieerd als:

{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

.

De errorfunctie is een antisymmetrische functie:

{\mbox{erf}}(-x)=-{\mbox{erf}}(x)\;

.

Verder geldt: ${\mbox{erf}}(0)=0\;$ en $\lim \limits _{x\rightarrow \infty }{\mbox{erf}}(x)=1$ .

De errorfunctie kan worden voorgesteld door de volgende reeks:

{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}

De gegeneraliseerde errorfunctie wordt gegeven door:

{\mbox{erf}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{y}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

.

De complementaire errorfunctie wordt gegeven door:

{\mbox{erfc}}(x)=1-{\mbox{erf}}(x)\;

.

De imaginaire errorfunctie wordt gegeven door:

{\mbox{erfi}}(x)=-i{\mbox{erf}}(i\cdot {x})

Verband met de normale verdeling

De errorfunctie is direct gerelateerd met de verdelingsfunctie $\Phi$ van de standaard normale verdeling.

\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)