Brontekst bekijken van Lichaam (Ned) / Veld (Be)

{{Zijbalk algebraïsche structuren}}

Een '''lichaam''' ([[Nederlands in Nederland|Nederlands]]) of '''veld''' ([[Belgisch-Nederlands|Belgisch]]), niet te verwarren met het ruimere begrip [[Delingsring (Ned) / Lichaam (Be)|delingsring (Ned) / lichaam (Be)]], is een [[algebraïsche structuur]] waarin de [[Operatie (wiskunde)|bewerkingen]] [[optellen]], [[Aftrekken (wiskunde)|aftrekken]], [[vermenigvuldigen]] en [[delen]] op de gebruikelijke wijze kunnen worden uitgevoerd. De [[Rationaal getal|rationale getallen]], de [[Reëel getal|reële getallen]] en de [[Complex getal|complexe getallen]] zijn voorbeelden van lichamen, alle met oneindig veel [[Element (wiskunde)|elementen]]. Is het aantal elementen van het lichaam eindig, dan spreekt men van een [[Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)|eindig lichaam/veld]].

== Definitie ==
Een lichaam/veld is een [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] met de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging, waarbij de verzameling voor deze bewerkingen [[Gesloten (algebra)|gesloten]] is. Het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling, de optelling en de vermenigvuldiging zijn beide [[Associativiteit (wiskunde)|associatief]] en [[Commutativiteit|commutatief]] en de vermenigvuldiging is [[Distributiviteit|distributief]] ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam/veld een drietal <math>(K, +, *)</math> bestaande uit een niet-lege verzameling <math>K</math> waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen <math>a</math> en <math>b</math> uit <math>K</math> noteert men meestal met <math>a+b</math> en de vermenigvuldiging van <math>a</math> en <math>b</math> met <math>a*b</math> of korter met <math>ab</math>. De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met <math>\,\cdot \,</math> of <math>\times</math> en het product dienovereenkomstig met <math>a \cdot b</math> of <math>a \times b</math>.

Gebruikmakend van het bestaande begrip [[Groep (wiskunde)|groep]] kan een lichaam/veld <math>(K, +, *)</math> ook worden gedefinieerd door:
* <math>(K, +)</math> is een [[Commutativiteit|commutatieve]] groep
* <math>(K \setminus \{0\}, *)</math> is een commutatieve groep
* de bewerking <math>*</math> is distributief over de bewerking <math>+</math>.

== Voorwaarden en eigenschappen ==
De optelling en de vermenigvuldiging moeten aan de volgende voorwaarden voldoen.
# Voor alle elementen <math>a</math> en <math>b</math> in <math>K</math>, behoren ook <math>a+b</math> en <math>a*b</math> tot <math>K</math>. <br> <math>K</math> is gesloten onder de optelling en de vermenigvuldiging.
# Voor alle elementen <math>a,\,b</math> en <math>c</math> in <math>K</math>, is <br> <math>\quad (a+b) + c = a + (b + c)</math> en <math>(a*b)*c = a*(b*c)</math>. <br> De optelling en de vermenigvuldiging zijn [[Associativiteit (wiskunde)|associatief]].
# Er bestaat in <math>K</math> een element <math>0</math> zodat voor alle <math>a</math> uit <math>K</math> geldt: <br> <math>\quad a+0 = 0 + a = a</math> <br> Het element <math>0</math> heet het [[Neutraal element|neutrale element]] voor de optelling of ook de [[additieve identiteit]] in <math>K</math>.
# Voor elk element <math>a</math> in <math>K</math> bestaat er een element <math>-a</math> in <math>K</math>, zodat <br> <math>\quad a+(-a) = 0</math> en <math>-a + a = 0</math> <br> Ieder element in <math>K</math> heeft een [[Inverse|invers element]] voor de optelling.
# Voor alle elementen <math>a</math> en <math>b</math> in <math>K</math> geldt <br> <math>\quad a+b = b+a</math>. <br> De optelling is [[Commutativiteit|commutatief]].
# Voor alle elementen <math>a,\,b</math> en <math>c</math> in <math>K</math> is <br> <math>\quad a*(b+c) = a*b + a*c</math> <br> De vermenigvuldiging is [[Distributiviteit|distributief]] ten opzichte van de optelling.
# Er bestaat in <math>K</math> een element <math>1</math> zodat voor elk element <math>a</math> in <math>K</math> geldt: <br> <math>\quad 1*a = a*1 = a</math> <br> Het element <math>1</math> is het neutrale element voor de vermenigvuldiging, ook eenheidselement van <math>K</math> genoemd.
# Voor elk element <math>a</math> in <math>K</math> verschillend van <math>0</math> bestaat er een element <math>a^{-1}</math> in <math>K</math> zodat <br> <math>\quad a*a^{-1} = 1 = a^{-1}*a</math> <br> Elk element in <math>K</math> ongelijk aan <math>0</math> heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
# Voor alle elementen <math>a</math> en <math>b</math> in <math>K</math> geldt <br> <math>\quad a*b = b*a</math>.<br> De vermenigvuldiging is [[Commutativiteit|commutatief]].
# De [[Additieve identiteit|additieve]] en de multiplicatieve identiteit zijn verschillend, <math>0</math> is niet gelijk aan <math>1</math>.

Zonder de laatste voorwaarde zou de verzameling die één element bevat ook een lichaam/veld zijn en dat is niet de bedoeling.

De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat <math>(K, +, *)</math> een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve eventueel onder voorwaarde 9 dat de vermenigvuldiging commutatief is, dan is er sprake van een [[Delingsring (Ned) / Lichaam (Be)|delingsring/lichaam]].

Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en 7, 8 en 9 overeenkomstige voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 gaan over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 over de vermenigvuldiging gaan.

Het verschil nemen, aftrekken wordt gedefinieerd door 
: <math>a - b = a + (-b)</math>
De deling door een element ongelijk aan nul wordt gedefinieerd door 
: <math>\frac{a}{b} = a*b^{-1}</math>

We kunnen bewijzen dat voor elk lichaam/veld geldt dat <math>x*0=0</math> voor willekeurige <math>x</math>. Daarom bestaat vanwege voorwaarde 10 geen inverse van <math>0</math> (want dan zou <math>0*0^{-1}=1</math> moeten gelden) en is [[delen door nul]] dus niet mogelijk.

Er bestaat een hierarchie tussen de volgende ring-achtige algebraïsche structuren:
: Lichamen/velden <math>\subset</math> [[Euclidisch domein|euclidische domeinen]] <math>\subset</math> [[hoofdideaaldomein]]en <math>\subset</math> [[Uniek factorisatiedomein|unieke factorisatiedomeinen]] <math>\subset</math> [[integriteitsgebied]]en <math>\subset</math> [[commutatieve ring]]en <math>\subset</math> [[Ring (wiskunde)|ringen]]

== Voorbeelden ==
* Ieder element behalve 0 heeft in een lichaam een inverse voor de vermenigvuldiging, dus kunnen er geen [[nuldeler]]s zijn.
:: Als <math>a \cdot b = 0</math> en <math>b \ne 0</math> is <math>a = a \cdot b \cdot b^{-1} = 0 \cdot b^{-1} = 0</math>.
* De [[Reëel getal|reële getallen]] <math>\R</math>, de [[Rationaal getal|rationale getallen]] <math>\Q</math> en de [[Complex getal|complexe getallen]] <math>\Complex</math> vormen met de gewone optelling en vermenigvuldiging een lichaam/veld.
* De [[Geheel getal|gehele getallen]] <math>\Z</math> vormen geen lichaam/veld, omdat de meeste gehele getallen voor de vermenigvuldiging geen invers element hebben.
* Als <math>K</math> een lichaam/veld is, vormen de [[rationale functie]]s in <math>n</math> [[variabele]]n over <math>K</math> op hun beurt een lichaam/veld.
* De [[restklasse]]n modulo <math>p</math> vormen als <math>p</math> een [[priemgetal]] is een eindig lichaam/veld.

== Deellichaam/deelveld ==
Een deellichaam/deelveld van een lichaam/veld is een deelverzameling, die de elementen 0 en 1 bevat en is gesloten met betrekking tot optelling, tegengestelde nemen, vermenigvuldiging en multiplicatieve inverse. Het is hiermee zelf een lichaam/veld.

Voorbeelden:
* De reële getallen vormen een deellichaam van de complexe getallen.
* De rationale getallen vormen een deellichaam van de reële getallen, en ook van de complexe getallen.
* Het eindige lichaam/veld <math>\mathbb{F}_2</math>, met 0 en 1 als enige elementen, is een deellichaam van <math>\mathbb{F}_4</math>, dat naast de elementen 0 en 1 een speciaal element <math>x</math> en daarmee ook <math>x+1</math> bevat. Voor het speciale element <math>x</math> geldt <math>x^2 = x + 1</math>. Er wordt [[Modulair rekenen|modulo 2 gerekend]].

== Geordend lichaam/veld ==
Een geordend lichaam/veld is een lichaam/veld met een compatibele [[totale orde]], wat wil zeggen dat voor de [[bijbehorende strikte totale orde]] '<' geldt:
* als <math>a < b</math>, dan is <math>a + c < b + c</math>
* als <math>0 < a</math> en <math>0 < b</math>, dan is <math>0 < a * b</math>

=== Eigenschappen ===
* Een eindig lichaam/veld kan geen geordend lichaam/veld zijn.
* Een deellichaam/deelveld van een geordend lichaam/veld is met de geïnduceerde orde ook een geordend lichaam/veld.

=== Voorbeelden ===
* reële getallen
* De volgende deellichamen/deelvelden van de reële getallen:
** [[Algebraïsch getal|algebraïsche getallen]]
** de doorsnede van alle deellichamen/deelvelden van de reële getallen die <math>\sqrt{2\ }</math> bevatten, dus alle getallen van de vorm <math>a + b\sqrt{2\ }</math> met <math>a</math> en <math>b</math> rationale getallen
** rationale getallen

== Literatuur ==
* [[Hendrik Lenstra|HW Lenstra]] en [[Frans Oort|F Oort]]. [https://staff.fnwi.uva.nl/l.d.j.taelman/algebra2.pdf Ringen en lichamen], augustus 2015. {{pdf}}

[[Categorie:Abstracte algebra]]
[[Categorie:Wiskundige structuur]]