Autoregressief model

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het autoregressieve (AR) model is een model uit de tijdreeksanalyse dat wordt gebruikt om bepaalde voorspellingen te doen.

Definitie[bewerken]

Het autoregressieve model van de orde p, genoteerd als AR(p), is gedefinieerd als

X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t,

waarin \varphi_1, \ldots, \varphi_p de parameters van het model zijn, c een constante is en \varepsilon_t witte ruis is. De constante term wordt vaak weggelaten.

Aannames[bewerken]

1.  E[\varepsilon_t]=0 \,

2.  E[\varepsilon^2_t]=\sigma^2 \,

3.  E[\varepsilon_t\varepsilon_s]=0 \quad\forall t\not=s \,

Voorbeeld: een AR(1)-proces[bewerken]

Een AR(1)-proces is gegeven door:

X_t = c + \varphi X_{t-1}+\varepsilon_t\,

waar \varepsilon_t aan de aannames voldoet. Daardoor is het gemiddelde \mbox{E}(X_t) gelijk voor alle waarden van t. Het gemiddelde, genoteerd als \mu, is gelijk aan

\mbox{E}(X_t)=\mbox{E}(c)+\varphi\mbox{E}(X_{t-1})+\mbox{E}(\varepsilon_t)\Rightarrow \mu=c+\varphi\mu+0.

Dus

\mu=\frac{c}{1-\varphi}.

In het bijzonder, als c = 0, dan is het gemiddelde gelijk aan 0.

De variantie is

\textrm{var}(X_t)=E(X_t^2)-\mu^2=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2}, waar \sigma_\varepsilon de standaardafwijking van \varepsilon_t is.

Dit kan men zien doordat \textrm{var}(X_t) = \varphi^2\textrm{var}(X_{t-1}) + \sigma^2.