Autoregressief model

Het autoregressieve (AR) model is een model uit de tijdreeksanalyse. Het wordt gebruikt om bepaalde fenomenen in de toekomst te voorspellen.

Definitie

De notatie AR(p) verwijst naar het autoregressieve model van de orde p. Het AR(p) model is gedefinieerd als

$X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t \,$

waar $\varphi_1, \ldots, \varphi_p$ de parameters van het model zijn, $c$ een constante is en $\varepsilon_t$ witte ruis is. De constante term wordt vaak weggelaten.

Aannames

1. $E[\varepsilon_t]=0 \,$

2. $E[\varepsilon^2_t]=\sigma^2 \,$

3. $E[\varepsilon_t\varepsilon_s]=0 \quad\forall t\not=s \,$

Voorbeeld: een AR(1)-proces

Een AR(1)-proces is gegeven door:

$X_t = c + \varphi X_{t-1}+\varepsilon_t\,$

waar $\varepsilon_t$ aan de aannames voldoet. Daardoor is het gemiddelde $\mbox{E}(X_t)$ gelijk voor alle waarden van t. Het gemiddelde, genoteerd als $\mu$, is gelijk aan

$\mbox{E}(X_t)=\mbox{E}(c)+\varphi\mbox{E}(X_{t-1})+\mbox{E}(\varepsilon_t)\Rightarrow \mu=c+\varphi\mu+0.$

Dus

$\mu=\frac{c}{1-\varphi}.$

In het bijzonder, als $c = 0$, dan is het gemiddelde gelijk aan 0.

De variantie is

$\textrm{var}(X_t)=E(X_t^2)-\mu^2=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2}$, waar $\sigma_\varepsilon$ de standaardafwijking van $\varepsilon_t$ is.

Dit kan men zien doordat $\textrm{var}(X_t) = \varphi^2\textrm{var}(X_{t-1}) + \sigma^2$.