Gebruiker:Daaf Spijker/Kladblok/Parallel

Evenwijdig versus parallel

Evenwijdig is een binaire relatie binnen de verzameling rechte lijnen in het euclidische vlak.

TWEE lijnen l en m heten evenwijdig, als ... (definitie).

Deze relatie wordt genoteerd als: l // m

Uit de definitie volgt direct dat dan ook m // l. Dit is de symmetrie.

Een en ander is zelfs als een binaire (boolese) functie E te schrijven: E(l, m) = 1 als l // m en E(l, m) = 0 als l niet// m.

En ook is dan E(l, m) = E(m , l), de symmetrie.

Via een bewijs blijkt ALS E(l, m) = 1 EN E(l, n) = 1 DAN is E(m, n) = 1. Deze stelling zegt dat de relatie E ook transitief is.

Het is dus via het bijvoeglijke naamwoord evenwijdig onmogelijk ter spreken van een "evenwijdige lijn", omdat evenwijdig een binaire relatie is.

Binnen de wiskunde althans (voor evenwijg zijn, zijn er twee nodig). Wat men daarbuiten doet, moet men zelf weten.

"Evenwijdige lijn" is dus (wiskunde)taalkundig onjuist; evenwijdige lijnen is zeker correcte wiskundetaal.

Evenwijdig is ook een term die gebruikt kan worden bij vlakke kromme lijnen (vlakke krommen).

TWEE vlakke krommen zijn evenwijdig als ...

Merk op dat ook tbv zo'n definitie twee krommen nodig zijn: er bestaat dus ook hier een binaire relatie (ik noem de 'bijbehorende' boolese functie P) tussen de krommen in het euclidische vlak.

Analoog aan de situatie bij de lijnen: "evenwijdige kromme" kan niet (it takes two to parallelize), "evenwijdige krommen" kan WEL.

Er zijn zelfs meerdere definities: (1) via normalen, (2) via een omhullende van een verzameling cirkels, (3) via een definitie-door-constructie

Definitie 3 wijkt duidelijk af van de beide andere. Die is meer informeel dan formeel.

En definitie 1 en definitie 2 zijn echter niet gelijkwaardig. Dat is alleen het geval als de kromme waarvan wordt uitgegaan (de basiskromme), glad is (dat wil zeggen: in elk punt differentieerbaar); bij definitie moet devraaklijn in elk punt bestaan.

Daarbij is echter bij definitie 2 niet eenvoudig vast te stellen wat de vorm is van de "binnenkromme", vanwege de definitie van omhullende die elk element van de verzameling cirkels (in dit geval) een keer raakt (een keer of precies één keer?).

En dan blijkt, eenvoudig aantoonbaar door constructie, dat voor de krommen K1 en K2 (rechte lijnen en cirkels uitgezonderd) geldt:

- ALS P(K1, K2) = 1 DAN P(K2 K1) = 0. Er is dus geen symmetrie.

- ALS P(K1, K2)= 1 EN P(K1, K3) = 1 DAN P(K2, K3) = 0

Daarom is het toch wel prettig dat het Nederlands een woord heeft (parallel) waarmee het verschil tussen de beide verschillende vormen van evenwijdig zijn, kan worden benadrukt.

(En daarom wordt het woord parallel ook gebruikt in de affiene meetkunde, omdat ook daar "evenwijdig zijn" afwijkt van het evenwijdig zijn in de euclidische meetkunde).

Mede daarom kan parallelkromme wel worden gebruikt: de kromme K1 is een parallelkromme van K; dwz. P(K, K1) = 1

Mede daarom ook: K en K1 zijn zijn parallelkrommen (maar weet HOE je dat meervoud gebruikt).

-- Bron (gedeeltelijk): discussiestuk cTWO (8-9-10 (!!) Relaties; aangepast tbv Wikipedia.

Addendum

• Omdat er geen Nederlandse WiskundeTaalUnie (WTU) bestaat, kunnen auteurs in de wiskundetuin vrijelijk de door hen te gebruiken terminologie definieren en die (wel daarna) gebruiken in hun schrifturen (boeken, artikelen, readers, ...). Die vrijheid wordt echter bij boeken en tijdschriften meestal beperkt door eindredacteuren, referees, instituutsgebruik, e.d.
• In Wikipedia is het introduceren van nieuwe terminologie – naar ik begrepen heb – ongewenst: ik gebruikte 'ooit' "effen getal" en "oneffen getal" in de lemmata Evil getal en Odious getal.
• En natuurlijk kan Wikipedia nooit fungeren als WTU, gezien het concept. Wat wel gepoogd moet worden, is de omschrijving van de terminologie aan het begin van een lemma zo dicht mogelijk bij de wiskundige definitie/beschrijving te brengen, tenzij...

Het motto waaronder ik bijdraag is: Wat moeilijk is, laat zich meestal niet mskkelijk beschrijven.

Mogelijk erbij te bekijken:

• (??) euclidiciteit van een relatie / equivalentieklassen; "evenwijdige lijn" in welke klasse?
• (??) euclidiciteit <=> symmetrisch EN transitief
• is R(K, K) = 1, dus is R reflexief ? (uit de definitie / straal voortbrengende cirkel = 0 / normaal(vector) |n|=0
• uit de definitie van evenwijdig zijn van lijnen volgt NIET dat E(n, n) = 0
• tja, $l\equiv m$ ook opvat als evenwijdig (dus als ${\textrm {d}}(l,m)=0$), dan is E(l, l) = 1

Aangehaald artkel

Henk Mulder (1986): De knikkergoot, het probleem van de evenwijdige krommen. In: Euclides, jg. 61, pp. 273-276. [1]

• Alleen het woordenpaar "evenwijdige krommen" komt voor.
• Wel "kromme" in een betekenis die binnen dit artkel bruikbaar is: binnenkromme, buitenkromme, geleidskromme.
• Ook komt een aantal keer het woord "evenwijdige" voor als zelfstandig naamwoord. In dit artikel wordt daarmee steeds (eenduidig) verwezen naar een van de (in behandeling zijnde) evenwijdige krommen.
• Dat het woord "parallelkromme" in dit verband niet wordt gebruikt, is mijns inziens verklaarbaar: het behoort tot de terminologie van de differentiaalmeetkunde.
• Dat het woord "parallelkromme" wel in het lemma Evenwijdig voorkomt, ligt (m.i., hoe kan het anders) ten grondslag aan het feit dat de term "evenwijdig" c.q. "parallel" in verband gebracht kan worden met krommen.

Een en ander overziend zie ik geen enkele noodzaak voor een afzonderlijk lemma Parallelkromme, tenzij de vorm en inhoud overeenkomt met de Engelse pendant. Daarbij echter een advies: niet aan vertalen/bewerken beginnen; verwijs gewoon naar een goed boek over differentiaalmeetkunde (Gibson?).

Voorbeeld c.q. meer spitsvondige kolder

Binnen de verzameling M die bestaat uit de levende mannen die op 11-11-2019 (teltijd: 12.00u) in Nederland woonachtig waren, wordt de volgende tweeplaatsige relatie (een wiskundig begrip, ook wel binaire relatie genoemd) gedefinieerd.

• Twee mannen worden samanafnig genoemd ('worden genoemd' vervangen door 'heten' is hier niet handig) als ze met dezelfde achternaam in de BRP geregistreerd zijn (informeel en heel wat korter korter: ze hebben dezelfde achternaam).

Zijn nu de volgende zinnen, op basis van de gegeven definitie, semantisch eenduidig (correct, duidelijk, logisch) Nederlands (syntactisch klopt het)? Antwoord ja of nee volstaat.

• Die man is een samanafnige man.
• Die man is samanafnig.
• Die vier mannen zijn samanafnig. En waarom dan wel?
• Mijn vrouw is niet samanafnig. En waarom?
• Mijn vrouw is hoe dan ook samanafnig.
• Dat zijn samanafnige vrouwen.
• Deze man is niet samanafnig.

Als de zinnen worden beschouwd als uitspraken binnen de geschetste wiskundige context, is zo'n uitspraak dan waar of onwaar? - DaafSpijker _overleg 19 nov 2019 16:59 (CET)

Voorstaan

21-11-2019. Ik las op de OP van Parallelkromme een reactie op een correcte uitspraak van collega Madyno:

• "Jammer van iemand die zichzelf zo voor staat vanwege zijn vermeende kennis."

Het passende werkwoord is echter "zich laten voorstaan op" dat als synoniem "zich beroemen op" heeft.
En ook, de betekenis van "vermeend" is onder meer zogenaamd, denkbeeldig, quasie.

Ik vraag me af waar op WP Madyno zich heeft beroemd op zijn quasie-kennis Dat doe je toch niet!.
En ik vraag ook af – zo dit tóch het geval is – of degene die dit "jammer" vind, over (voldoende) taalgevoel beschikt. Zielig?
_ DaafSpijker _overleg 21 nov 2019 20:20 (CET)

Artikel en index

22-11-2019. En dan is een parallelkromme (natuurlijk ook, en uiteraard) een evenwijdige kromme geworden (althans in het lemma). Tja, er zijn namelijk "twee" bronnen voor: te weten:

• hier en hier.

Evenwel, de eerste is de tekst die staat in een uitgave (in 1854) van het Wiskundig Genootschap en de tweede, dezelfde tekst, in het register (de index), dat het WG in die jaren afzonderlijk liet verschijnen (deze in 1885).

En dan staat er (ik geef het toe) niet parallelkromme, maar "(...) Zoo men nu aan de holle zijde dezer epicycloïde, eene daarmede evenwijdige kromme beschrijft (...)". En daarom gaat het die kromme is evenwijdig met de epicyclode. Men had ook kunnen schrijven "een met de epycycloïde evenwijdige kromme". Maar de kromme zelf is een parallelkromme. It takes two to parallelize.

Daarbij merk ik verder op dat het gebruik van het Nederlands in de loop der tijden, ook binnen de wiskunde, aan verandering onderhevig is ._ DaafSpijker _overleg 22 nov 2019 13:58 (CET)

De derde alinea

En dan nog eens wat (kolder?).

Herhalend, ik vind het nog steeds onnodig het lemma, zeker in deze vorm, te handhaven (nuweg wmb). Er staat m.i. voldoende in het lemma Evenwijdig; en een bron uit 1829 die de stau (*) gebruikt om zijn gelijk te staven, maakt het er wmb niet beter op. En twee 100⁺-jaar oude bronnen die naar exact dezelfde tekst verwijzen, ook niet.

Maar naar mijn bescheiden mening (ik ben voorzichtig) zit er ook nog iets onlogisch in de nu derde alinea – ik noemde het al eerder.

Daar staat: “het niet hebben van een gemeenschappelijk punt [is] geen noodzakelijke en voldoende voorwaarde [voor het evenwijdig zijn]”.

Het gaat mij om het gecursiveerde zinsdeel. Hierin zit de logische operator “ noodzakelijk en voldoende” (n&v). Dat zinsdeel kan nu door de ontkenning “geen” op twee manieren worden gelezen (en ik gebruik noodzakelijke haakjes):

1. niet (noodzakelijk en voldoende) – dit ligt voor de hand;
2. (niet noodzakelijk) en (voldoende).

De operator n&v staat altijd tussen twee uitspraken A en B, ook hier.

Ik stel A = (beide krommen hebben een snijpunt) en B = (beide krommen zijn evenwijdig).

Voor het waar of onwaar zijn van deze uitspraken zijn er vier mogelijkheden. En deze kunnen zich, door het (soms) uitzonderlijk gedrag van de parallelkrommen, alle vier voordoen.

Evenwel, als de vier mogelijkheden voor de uitspraken A en B logisch worden uitgewerkt, worden er bij (1) twee van die mogelijkheden uitgesloten en bij (2) drie. :Gezien mijn openingszin en de eerdere kwalificaties die mij hier zijn toegedicht door de stau, laat ik het wat dit betreft bij deze opmerking.

En verder is het zo dat in het Nederlands “zich laten voorstaan op” de correcte vorm van het werkwoord is, en dat “vermeend” o.a. de betekenis quasi heeft. Tja, …

En tot slot benadruk ik dat de beide “definities” aan het begin van het lemma NIET equivalent zijn.

_ DaafSpijker _overleg 22 nov 2019 18:38 (CET) (*) stau = startende auteur

Quote

Here’s what Clinton told the grand jury (according to footnote 1,128 in Starr’s report):

“It depends on what the meaning of the word ‘is’ is. If the—if he—if ‘is’ means is and never has been, that is not—that is one thing. If it means there is none, that was a completely true statement. … Now, if someone had asked me on that day, are you having any kind of sexual relations with Ms. Lewinsky, that is, asked me a question in the present tense, I would have said no. And it would have been completely true.”

Timothy Noah (13-9-1998): The distinction between “is” and “was” was seized on by the commentariat when Clinton told Jim Lehrer of PBS right after the Lewinsky story broke, “There is no improper relationship.” Chatterbox confesses that at the time he thought all these Beltway domes were hyperanalyzing, and in need of a little fresh air. But it turns out they were right: Bill Clinton really is a guy who’s willing to think carefully about “what the meaning of the word ‘is’ is.” This is way beyond slick. Perhaps we should start calling him, “Existential Willie.”

@DS Naar mho:

• 1e "definitie": indien in een punt van de gegeven kromme de raaklijn niet bestaat, is een punt op afstand d van die kromme worden NIET bepaald.
• 2e definitie: in elk punt van zo'n kromme kan wel een cirkel met straal d worden getekend.

Beide definities zijn alleen equivalent als er sprake is van een vlakke kromme. Zie ook "de juiste" Gibson die op pag. 120 in Example 8.15 spreekt van "regular curves".

Maakt het hierboven toegevoegde plaatje ea. toch ook niet wat duidelijker. De gecompliceerdere vorm van de "binnenkromme" is het gevolg van het feit dat lokaal de kromte straal van de gegeven kromme kleiner is dan d; zie ook het Euclides-artikel van Mulder (knikkergoot) hier.